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Dezimalbrüche
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rnd
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2005 - 11:13:42    Titel: Dezimalbrüche

Hallo,

ich habe die Frage zwar in einem anderen Thema schon gestellt, allerdings ist sie dort in der Diskussion untergegangen.

Gibt es für jeden Dezimalbruch, insbesondere die periodischen, einen passenden Bruch der Form p/q mit p€Z und q€N/{0}?

Also für die nicht periodischen ist es kein Problem, klar. Für periodische Dezimalzahlen wie 0._3, oder 0.12345_3 ist es auch kein Problem. Was ist aber z.B. mit 0._1298498435786437586422222211111100000234232

Durch suchen im WWW bin ich auf keinen Beweis dafür gestoßen.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2005 - 12:56:27    Titel:

Na ja, das ist eigentlich gar nicht so schwer.

Wir nehmen mal ohne Einschränkung an, wir haben eine Zahl der Art
abcd,(abcd) (a,b,c,d sind ziffern)
Also eine natürliche Zahl z, die unsere periodische Ziffernfolge darstellt.

Dann lässt sich der Dezimalbruch schreiben als:

sum(i=0 bis unendlich) z * 10^(-ti) wobei t die länge der ziffernfolge z ist.

wegen t > 0 ist das die geometrische reihe (sum a_0 q^i mit q=10^-t und a_0=z)
für diese gilt (beweis findet man auf jeden fall über google)

sum(i=0 bis unendl) a0 q^i = a0 1/(1-q)

also

sum(i=0 bis unendlich) z * 10^(-ti) = z / (1-10^-t)

mit 10^t erweitert:

z*10^t / (10^t - 1)

und schon hat man den gewünschten ganzzahligen bruch.
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