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Beweis: Unendlich viele Primzahlen
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Anachronist
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Anmeldungsdatum: 22.08.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2005 - 16:10:15    Titel: Beweis: Unendlich viele Primzahlen

Hallo,

ich lese gerade in recht interesantes Buch, dessen Argumentatsionsgang ich gerne vollständig verstehen möchte. Das Problem ist, dass ich seit gut 10 Jahren keinen Mathematikunterricht mehr genossen habe und das Buch sehr viel Mathematik beinhaltet.

Im Moment hänge ich bei einem Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

n!+1 ist nicht teilbar durch 1-n, d.h. es ist entweder nur teilbar durch sich selbst und 1 (=Primzahl) oder seine Primteiler sind > n. Ergo: Da n unendlich "groß" werden kann, gibt es unendlich viele Primzahlen.

Der Gedankengang ist mir (nach einigen Grübeln) fast völlig durchsichtig. Eines verstehe ich jedoch nicht ganz:

Beispiel:

n=5

5!+1 = 121

Ich verstehe, warum jeder mögliche Teiler größer 5 sein muss; Ich verstehe aber nicht, warum ich jetzt schon erkennen kann, dass es eine Primzahl größer als 5 geben muss.

Die Aussage zwischen n und n!+1 muss es einen Primteiler geben, wenn n!+1 keine Primzahl ist, erscheint mir unbewiesen.

Manchmal habe ich das Gefühl kurz vor dem Verständnis zu stehen, es aber nicht ganz greifen zu können. Kann mich jemand in möglichst verständlichen Worten anstupsen? Wink

Danke

Jörg
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2005 - 16:43:51    Titel:

Zitat:
Ich verstehe, warum jeder mögliche Teiler größer 5 sein muss; Ich verstehe aber nicht, warum ich jetzt schon erkennen kann, dass es eine Primzahl größer als 5 geben muss.


Nun ja, entweder ist 121 selbst Primzahl, dann ist die sache erledigt.
Wenn nicht, dass lässt sich 121 als Produkt von Primfaktoren schreiben. Da die aber größer 5 sein müssen (eben weil jeder mögliche Teiler größer 5 ist), muss es eine Primzahl geben, die größer 5 ist.
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 13:34:28    Titel:

und 1 wird eigentlich nicht zu den Primzahlen dazugezählt..
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 13:45:06    Titel:

Zitat:

und 1 wird eigentlich nicht zu den Primzahlen dazugezählt..


Du meinst wahrscheinlich:

Zitat:
es ist entweder nur teilbar durch sich selbst und 1 (=Primzahl)


Ich glaube, das war einfach nur unglücklich ausgedrückt und sollte bedeuten,
dass die zahl primzahl ist, wenn sie nur durch sich selbst und 1 teilbar ist. Nicht dass 1 Primzahl ist.
Anachronist
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Anmeldungsdatum: 22.08.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 13:47:46    Titel:

Zitat:
Wenn nicht, dass lässt sich 121 als Produkt von Primfaktoren schreiben. Da die aber größer 5 sein müssen (eben weil jeder mögliche Teiler größer 5 ist), muss es eine Primzahl geben, die größer 5 ist.


Aber woher wissen wir, dass sich 121 in Primteilern ausdrücken lässt? Es scheint mir so, als ob da ein weiterer Beweis von Nöten ist.

1. : Jede Zahl, die nicht Primzahl ist, lässt sich in Primteiler zerlegen.

2. : n!+1 ist nicht teilbar durch 1 bis n.

3. : (aus 1 und 2) : n!+1 ist entweder Primzahl oder besitzt Primteiler > n

4. : 1. - 3. ist wahr für alle natürlichen Zahlen

5. : (aus 1. - 4.) Es gibt unendlich viele Primzahlen.



Danke


Jörg
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 14:31:38    Titel:

Nehmen wir an, es gibt Zahlen, die weder selbst Primzahl sind, noch als Produkt von Primzahlen geschrieben werden können.
Da wir uns in den natürlichen Zahlen befinden, muss es eine kleinste solche Zahl geben. Nenne wir sie z.
Da z keine Primzahl ist, muss sie einen von 1 und z verschiedenen Teiler t besitzen. Dieser ist nach Voraussetzung nicht prim. Da t<z und z die kleinste Zahl war, die weder selbst prim noch produkt von primzahlen ist, muss t produkt von primzahlen sein.
Dann sind die Primteiler von t aber auch primteiler von z => widerspruch.

(kein vollkommen sauberer beweis, aber dafür ein anschaulicher.)
Anachronist
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Anmeldungsdatum: 22.08.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 14:58:48    Titel:

Danke Wink
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