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Aufgabe
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Dedon010
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Anmeldungsdatum: 23.08.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 21:50:17    Titel: Aufgabe

1024 farbige, quadratische Mosaiksteinchen sind zu einem Quadrat angeordnet. Nun soll zwischen je zwei farbige Steinchen ein hellgraues gelegt werden;
WIE VIELE HELLGRAUE STEINCHEN WERDEN BENÖTIGT?
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:03:09    Titel:

auf den ersten blick würd ich sagen, dass es genauso viele sind. nen beweis kann ich nicht liefern, später vielleicht. bin mir aber zu 99% sicher, dass es auch 1024 sein müssen.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:11:11    Titel:

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe:

Du hast n² steinchen, d.h. n reihen mit je n steinchen.
dann musst du zunächst zwischen jede horizontale reihe eine reihe mit n grauen steinchen legen, d.h. du hast dann 2n-1 reihen mit je n steinchen.
nun musst du zwischen jede vertikale reihe eine reihe mit 2n-1 grauen steinchen legen, dann hast du nachher (2n-1)² steinchen.

macht (2n-1)²-n² = 3n²-4n+1 graue steinchen.

Bei n²=1024 also 2945 steinchen.
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:14:04    Titel:

es können doch nicht mehr als 1024 sein, weil dann mindestens 2 steinchen direkten kontakt zueinander hätten. vielleicht eine reihe mehr, aber denn wärens immer noch weniger als 1100.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:23:13    Titel:

hmm, anscheinend hab ich die aufgabe etwas anders verstanden als du.
Du meinst, dass farbige steinchen weggenommen werden und durch graue ersetzt?
Ich dachte eigentlich, dass einfach die reihen auseinandergeschoben werden und dazwischen graue steine platziert.
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:25:39    Titel:

ja so isses auch. und dann hat jedes rote steinchen kontakt zu einem grauen, und nicht mehr zu roten. du hast dann also ein schachbrettmuster aus farbigen und grauen steinchen. so kommst du nie auf deine zahl, es müssen viel weniger sein. denn wenn du in einem quadratischen schachbrett eine überzahl einer farbe hast, dann ist das grundprinzip, dass keine zwei gleichfarbigen felder/steine an einer seite zusammenstossen dürfen, nicht mehr erfüllt.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:29:01    Titel:

Achso, nun ja, das stimmt, wenn du ein Schachbrett legst sind es natürlich 1024, klar. An ein Schachbrettmuster hab ich garnicht gedacht.
Der beweis ist dann aber trivial.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 14:08:22    Titel:

Ich tippe auf 961 = 31². Da die Steine quadratisch angeordnet sind, liegen also in jeder Reihe und Spalte 32 Steine, die übrigens nicht zwingend rot sind.
Es gibt demnach 31 horizontale und 31 vertikale Ritzen. Huch, das geht dann wohl doch in eine von xaggis Richtungen. Aber ich würde sagen daß man horizontal n-1 mal n Steine einfügt und ebenso vertikal. Damit komme ich dann auf 2*(n-1)*n=1984. Hmm, ob das eine Anspielung auf ein literarisches Werk ist?

Einerseits sagt die Aufgabenstellung nicht, daß die grauen Steine sich nicht berühren dürfen und andererseits schränkt sie die Paare von farbigen Steinen nicht auf benachbarte Steine ein. Demnach müßte die Lösung 1024*1023/2=1047552/2=523776 sein. Hab ich das jetzt richtig gerechnet?
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 14:11:28    Titel:

omg das wird ja immer mehr.. ich bin mir absolut sicher, dass das ergebnis zwischen 900 und 1100 liegen muss. und das schachbrett und die 1024 drängen sich da echt geradezu auf.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 14:20:33    Titel:

Wenn ich mir das mit vier farbigen Steinen aufzeichne, dann lege ich zwischen die oberen beiden einen grauen, zwischen die linken, die rechten und die unteren. Danach hab ich ein Feld, das so aussieht, als bestünde es aus neun Steinen, nur das in der Mitte nichts liegt.
Code:

FF    FGF
FF -> G G
      FGF

Macht schonmal 4 graue bei 4 farbigen Steinen. Bei neun sieht es dann so aus.
Code:

FFF    FGFGF
FFF    G G G
FFF -> FGFGF
       G G G
       FGFGF

12 graue auf 9 farbige Steine.

EDIT: Wenn man jetzt nach annimmt, daß die farbigen Steine nicht benachbart sein müssen, dann füllen sich auch die Lücken recht schnell.
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