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Lineare Algebra mit analytischer Geometrie
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S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:35:54    Titel: Lineare Algebra mit analytischer Geometrie

Kann mir mal bitte einer erklären, wie die Vektorenrechnung funktioniert? Ich habe schon viele links im Internet dazu gefunden, z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorrechnung , aber irgendwie verstehe ich das nicht. Was ist ein Vektor, was sind "Pfeile" , was sind Ortsvektoren oder Stützvektoren? und vorallem, wofür ist das gut? was kann ich im "Alltag"/Beruf damit berechnen???

Bin auf eure Hilfe echt angewiesen. Danke

MFG S1
Vela
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Anmeldungsdatum: 17.08.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:56:21    Titel:

Ich empfehle dir diese Seite:
http://www.mathe-online.at/mathint/vect1/i.html#Vektor
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2005 - 22:57:32    Titel:

vektorrechnung, oder dann allgemeiner lineare algebra, ist für vieles gut. fängt bei computerspielen an, geht über viele wirtschaftliche und vor allem technische anwendungen. vektorrechnung lernt man nicht in einer stunde, das dauert ein wenig. vielleicht findet du ein gutes buch dazu, das is n bisschen viel text, um das mal eben hier hinzischreiben.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 13:47:23    Titel:

Ja, es wär günstig, wenn Du Dir das durchliest, um danach Fragen stellen zu können, die etwas weniger allgemein sind.
Wenn man sich Vektoren grafisch veranschaulicht, so stellt man sie meist als Pfeile dar. Im Koordinatenkreuz ist ein Vektor eine gerade Strecke zwischen zwei Punkten, bei der an einem Ende noch eine Pfeilspitze hinzukommt. Mathematisch ist ein Vektor eine geordnete Ansammlung von Zahlen, die tatsächlich Koordinatenänderungen angeben.

Mal am Beispiel von Wikipedia:
Es gibt sechs Punkte. Drei Anfanspunkte, A=(-6|-1), B=(-3|-5), C=(-2|-2) und drei Endpunkte, A'=(1|2), B'=(4|-2), C'=(5|1).
Jetzt schaut man sich die Koordinatenänderung zwischen Anfangs- und Endpunkten an. Zwischen A und A' verändert sich die x-Komponente um 7 und die y-Komponente um 3. Der Vektor v wäre demnach v=(7|3), wenn man von A nach A' geht und v=(-7|-3), wenn man von A' nach A geht.

Ein Ortsvektor ist die Kooridnatenänderung zwischen dem Koordinatenursprung (Treffpunkt von x-Achse und y-Achse) und einem Punkt, wobei die Spitze immer am Punkt liegt. Die Koordinaten eines Punktes geben auch gleichzeitig seinen Ortsvektor an. Der Punkt C'=(5|1) hat den Ortsvektor c'=(5|1), B=(-3|-5) hat b=(-3|-5). (Die Namen der Vektoren sind im Prinzip frei wählbar.)
Der Koordinatenursprung hat den Vektor (0|0).

Wenn man weiß, daß man den Punkt B um den Vektor v verschieben will, um B' zu erhalten, addiert man v auf den Ortsvektor von B. Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise. Das sieht etwa so aus:
b'=b+v=(-3|-5)+(7|3)=(-3+7|-5+3)=(4|-2)
Auf diese Art hat man den Ortsvektor von B' errechnet. Würde man jetzt wieder von B' nach B zurückwollen, so kann man v vom Ortsvektor von B' auch subtrahieren. Dies geschieht auch Komponentenweise:
b'-v=(4|-2)-(7|3)=(4-7|-2-3)=(-3|-5)=b

Es gibt lineare Gebilde (wie eine Gerade oder eine Ebene) die sich durch Vektoren beschreiben lassen. Man kann eine Gerade durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreiben. Der Stützvektor ist dabei irgendein Punkt auf der Gerade und der Richtungsvektor ist parallel zur Geraden und hat eine Länge größer Null.
Auch das kann man sich in einem Koordinatensystem veranschaulichen.

Nimmt man sich zum Beispiel die Funktion g(x)=x-2, so hat man damit gleich auch eine Gerade. Aufgezeichnet würde man sehen, daß die Punkte P=(1|-1) und Q=(-1|-3) auf der Geraden liegen. Hat man zwei verschiedene Punkte einer Gerade, so kann man aus ihnen einen Stützvektor und einen Richtungsvektor ableiten. Als Stützvektor wählt man sich einfach den Ortsvektor eines der beiden Punkte. Der Richtungsvektor ergibt sich als Koordinatenänderung zwischen den Punkten.
Stützvektor: s=q=(-1|-3).
Richtungsvektor: r=q-p=(-1|-3)-(1|-1)=(-1-1|-3-(-1))=(-2|-2).
Aus Stütz- und Richtungsvektor läßt sich jederzeit die Gerade ableiten.
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