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einfacher Beweis gesucht
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Firstsartan
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Anmeldungsdatum: 09.08.2005
Beiträge: 125

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 19:12:05    Titel: einfacher Beweis gesucht

Ich habe,

an, bn, cn = Zahlenfolgen und es geht um eine Grenzwertaussage aber um keinen Grenzwertz Satz.

an (kleiner gleich) bn (kleiner gleich) cn

Wenn an und cn gegen Unendlich gehen haben sie den gleichen Grenzwert.

an = cn = gw

So mit hat bn auch den gleich Grenzwert.

Jetzt soll man das irgendwie mit ganz einfachen Mitteln beweisen können.
grübbel, also keine Vollständige Induktion oder so, aber ich komme nicht drauf......ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Jemand eine Idee oder einen Ansatz?

Gruß First Very Happy
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 19:24:17    Titel:

das ist das sog. 'sandwich-theorem', sollte sich recht einfach mit dem majorantenkriterium und dem minorantenkriterium nachweisen lassen. sandwich, weil du die beiden folgen an und cn wie sandwichhälften um bn gelegt hast und so die folge eingrenzt. da immer gilt an<=bn<=cn, muss im unendlichen gelten an=bn=cn.. naja, das muss nun noch etwas mathematischer ausgedrückt werden.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 20:02:23    Titel:

Kannst du auch relativ einfach mit der Definition des Grenzwerts zeigen.

Grenzwert g heißt:

zu beliebigem epsilon>0 (e:=epsilon) existiert ein n0, so dass für alle n>n0 |an-g|<e.
Analog für cn: für e existiert n1, so dass für n>n1 |cn-g|<e.

Definiere n2 := max{n0,n1}.

Dann gilt für alle n>n2:

an-g >= -|an-g| >= -e
cn-g <= |cn-g| <= e

-e <= an-g <= bn-g <= cn-g <= e

=> |bn-g| <= e

=> bn konvergiert gegen g.
Firstsartan
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Anmeldungsdatum: 09.08.2005
Beiträge: 125

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 20:05:40    Titel:

Danke euch beiden, das hilft mir sehr. Cool
Coole Ansätze.

Mal schauen was sich noch alles machen läst.

Gruß First Very Happy
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