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Integral unabhängig von additiver Konstante ?
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Xeal
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Jun 2004 - 16:13:33    Titel: Integral unabhängig von additiver Konstante ?

Hallo.
Bin Mathe Grundkurs 11Klasse.
Mal ein simples Beispiel:
Es gibt eine Funktion f mit f(x)=x
Die Satmmfunktion würde in diesem fall lauten F(x)= 0,5 x^2 +c
Wobei c eine konstante ist. In einer Aufgabe hat sich nun gezeigt, dass das Integral unabhängig von dieser Konstante ist. Wie kommt das ?
Wie kann man das zeigen/beweisen ?
danke im voraus
Gast







BeitragVerfasst am: 13 Jun 2004 - 17:48:03    Titel:

Hallo.
Bin Mathe Grundkurs 11Klasse.
Mal ein simples Beispiel:
Es gibt eine Funktion f mit f(x)=x
Die Satmmfunktion würde in diesem fall lauten F(x)= 0,5 x^2 +c
Wobei c eine konstante ist. In einer Aufgabe hat sich nun gezeigt, dass das Integral unabhängig von dieser Konstante ist. Wie kommt das ?
Wie kann man das zeigen/beweisen ?
danke im voraus


Das liegt einfach daran, dass die Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion ist, da mit r(x)=c (also r=konstant) gilt:
(f(x+h)-f(x))/h=(c-c)/h=0 gegen 0 (bei h gegen 0).
Ist also r eine konstante Funktion, so ist die Ableitung von r die Nullfunktion, in Kurzschreibweise:
r'=0, was bedeutet: r'(x)=0 für alle x.

Hat nun f die Stammfunktion F, so ist F'=f. Betrachtest du nun G=F+r, wobei r eine konstante Funktion ist (also r(x)=c für alle x, wobei c fest), so gilt nach den Regeln für Ableitungen und weil, wie eben gesehen, r'=0 gilt:
G'=(F+r)'=F'+r'=F'+0=f, also ist auch G eine Stammfunktion zu f.

An deinem Beispiel:
f(x)=x hat Stammfunktion F(x)=(1/2)x^2
r(x)=3
G=F+r, also
G(x)=F(x)+r(x)=(1/2)x^2 +3 ist auch eine Stammfunktion, weil:
G'(x)=((1/2)x^2 +3)'=((1/2)x^2)' +(3)'=x+0=x=f(x)

Schönen Abend noch
Gast







BeitragVerfasst am: 13 Jun 2004 - 17:53:19    Titel:

Ups, sorry.
Das was du meinst ist der Hauptsatz der Integralrechnung:
Hat f Stammfunktion F und ist ein Intervall mit unterer Grenze a und oberer Grenze b gegeben, dann gilt nach dem Haupsatz der Integralrechnung:
Int(a,b) f= F(b)-F(a).
Ist G weitere Stammfunktion, so gilt G=F+c mit einer konstanten c.
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt dann:
Int(a,b)=G(b)-G(a)=(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)+c-F(a)-c=F(b)-F(a)

Ich hoffe, dass das nun deine Frage war Confused
Xeal
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Jun 2004 - 05:23:37    Titel:

Naja, das was du sagst ist mir alles klar. danke.
kann man das auch am Graphen zeigen ?
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Jun 2004 - 20:57:34    Titel:

Präzisier bitte deine Frage.
Was man am Graphen zeigen kann, ist, wenn man (f+konstante)' rechnet, das gleiche Ergebnis haben muss wie f'.
Denn die Ableitung ist ja die Steigung der Tangente in einem Punkt, wenn ich die Funktion nur um eine konstante nach oben bzw. unten verschiebe, so ändere ich zwar den Funktionswert, nicht aber das Steigungsverhalten.

Schönen Abend
Xeal
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Jun 2004 - 05:27:20    Titel:

Genau das ist das worauf ich hinaus will.
Es ist logisch, dass sich die Steigung nicht verändert. Wenn man den graphen nach oben verschiebt, dann wird doch eigentlich aber der Fläscheninhalt größer, weil man ja immer bei der x-achse beginnt zu messen.
Aber so wie ich das vestehe, hat das c folgendes zu bedeuten:
Man verschiebt den Grafen inklusive x-achse nach oben, oder ?
Gast







BeitragVerfasst am: 10 Okt 2004 - 19:27:27    Titel:

man verschiebt F nach oben und unten, nicht aber f, so bleibt der flächeninhalt konstant für jedes c aus R Wink
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