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polynome, untervektorräume...
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eumel
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Anmeldungsdatum: 11.09.2004
Beiträge: 70
Wohnort: hattingen

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 11:01:45    Titel: polynome, untervektorräume...

hi ho,
ich weiß net, wie ich diese aufgabe angehen soll:

gegeben sind die polynome:

p1(x) = x-1
p2(x) = x²-1
p3(x) = x³-1

Zeige: Die Menge aller Linearkombinationen von p1, p2 und p3 ist ein dreidimensionaler Untervektorraum U des vierdimensionalen Vektorraums P3 der Polynome, deren Grad höchstens 3 ist.

hilfäää Very Happy

mfg

eumel
Hiob
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 04:12:29    Titel: Re: polynome, untervektorräume...

eumel hat folgendes geschrieben:
p1(x) = x-1
p2(x) = x²-1
p3(x) = x³-1

Zeige: Die Menge aller Linearkombinationen von p1, p2 und p3 ist ein dreidimensionaler Untervektorraum U des vierdimensionalen Vektorraums P3 der Polynome, deren Grad höchstens 3 ist.


Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden somit die Basis eines 3-dimensionalen Raumes U, der eine Teilmenge des 4-dimensionalen P3 ist. Also spannen p1, p2 und p3 U auf, d.h. es sind äquivalent:
1. v = a*p1+b*p2+c*p3 mit a,b,c in IR
2. v in U

Falls was nicht klar ist, nochmal nachfragen.


Seien a, b in U und r in IR.
Dann gibt es u_a, v_a, w_a, u_b, v_b, w_b in IR, so daß gilt:
a = u_a*p1+v_a*p2+w_a*p3 und
b = u_b*p1+v_b*p2+w_b*p3.

Dann folgt:
a+b
= u_a*p1+v_a*p2+w_a*p3+u_b*p1+v_b*p2+w_b*p3
= u_a*p1+u_b*p1+v_a*p2+v_b*p2+w_a*p3+w_b*p3
= (u_a+u_b)*p1+(v_a+v_b)*p2+(w_a+w_b)*p3
Also ist (a+b) in U.

Außerdem folgt:
r*a
= r*(u_a*p1+v_a*p2+w_a*p3)
= (r*u_a)*p1+(r*v_a)*p2+(r*w_a)*p3
Also ist (r*a) in U.

Also ist U ein Untervektorraum von P3.
eumel
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Anmeldungsdatum: 11.09.2004
Beiträge: 70
Wohnort: hattingen

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 13:35:32    Titel:

herzlichen dank Very Happy

mfg

eumel
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