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Basis und Dimension von Vektoren
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Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 14:46:00    Titel: Basis und Dimension von Vektoren

hi,

habe folgende Aufgabe zu lösen, die ich irgendwie nicht so verstehe:
1. Prüfe, ob die beiden Vektoren eine Basis von V2 bilden:
(7/11), (0/0)

(3/4), (-15/-20)

(1/2), (-1/2)

2. Prüfe, ob die drei Vektoren eine Basis von V3 bilden:
(3/6/3), (1/2/-1), (1/2/1)

Danke für eure Bemühungen Wink
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 17:31:48    Titel:

1. Prüfe, ob die beiden Vektoren eine Basis von V2 bilden:
Der Vektorraum V2 ist der 2-dimensionale Raum. Zwei Vektoren des V2 bilden eine Basis des V2, wenn sie linear unabhängig sind.
Sie sind linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren der Nullvektor ist und es keine Linearkombination der Vektoren außer der trivialen gibt, so daß das Ergebnis der Nullvektor ist.
Einfacher kann man hier auch testen, ob der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
Eine Linearkombination sieht so aus:
a*V1 + b*V2 = (0|0).
Bei einer trivialen Linearkombination sind a=0 und b=0.

(7|11), (0|0)
Keine Basis des V2, da ein Vektor ein Nullvektor und damit auch Vielfaches des anderen ist.

(3|4), (-15|-20)
Keine Basis, da der zweite Vektor ein Vielfaches ((-5)-faches) des ersten ist.

(1|2), (-1|2)
Angenommen der zweite Vektor ist ein Vielfaches des ersten Vektors, dann gibt es a ungleich Null, so daß:
a*(1|2) = (-1|2)
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen
a*1 = -1 und a*2 = 2.
Der ersten Gleichung zufolge ist a = -1, nach der zweiten ist a = 1. Das ist ein Widerspruch, also ist die Annahme falsch. Und damit sind die Vektoren linear unabhängig, also eine Basis des V2.


2. Prüfe, ob die drei Vektoren eine Basis von V3 bilden:
(3|6|3), (1|2|-1), (1|2|1)
Offensichtlich ist der erste Vektor ein Vielfaches des dritten. Also bilden diese Vektoren keine Basis.
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 18:09:24    Titel:

hi Hiob,

danke für deine Antwort, durch die ich nun schlauer bin *g*. Ich geh natürlich davon aus, dass das auch stimmt. Razz

Ich selbst bin Schüler der 13. Klasse und wir haben nun ein Semester Analytische Geometrie. Kannst du in 2-3 Sätzen kurz beschreiben, was mich da so erwartet? Ist es vom Schwierigkeitsgrad her ähnlich wie Stochastik?
Bist du selbst noch Schüler?

so many questions Surprised
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 18:14:56    Titel:

achja, eine Frage habe ich noch *g*
Bsp: Gegeben sind die Vektoren (2/1), (4/2)
Der 2. Vektor ist das 2-fache des 1. Somit wären diese Vektoren doch linear abhängig und bilden damit keine Basis B von V2 oder?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 19:05:54    Titel:

ich bin kein Schüler mehr. Ehrlich gesagt sind Begrifflichkeiten wie "Analytische Geometrie" oder "Lineare Algebra" oder anderes aus der Richtung für mich völlig lose Begriffe, die ich nur manchmal mit Teilgebieten assoziieren kann.
Zum Schwierigkeitsgrad kann ich jetzt nur sagen, daß es kaum unverständliche Gebiete der Mathematik gibt. Es kommt nur vor, daß man noch nicht darauf vorbereitet ist. ich denke, der es gibt nur zwei große Schritte des Verständnisses in der Mathematik. Der eine ist zu verstehen, wie man mit Variablen umgehen kann und der zweite ist der nächste, den man hinter sich bringen muß.
Es geht immer nur darum, Dir Werkzeuge in die Hand zu legen, um mit Problemstellungen fertig zu werden. Und es ist erhebend, wenn man sie sich zu eigen machen kann oder noch besser, man sich seine eigenen Werkzeuge bastelt. Auch wenn man mitunter Werkzeuge gebastelt hat, die einen nicht weitergebracht haben.

Silent hat folgendes geschrieben:
Ich geh natürlich davon aus, dass das auch stimmt.

Davon solltest Du nur ausgehen, um eine Idee zu prüfen. Die Schlußfolgerungen sind richtig. Bleibt die Frage, ob sie einem Lehrer ausführlich genug sind.

Zur letzten Frage mit den beiden Vektoren:
Du hast korrekt festgestellt und geschlußfolgert.
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 21:55:48    Titel:

hi Hiob,
ich habe die Hausaufgabe nun fertiggemacht und gelöst. es wäre nett, ob du mal dir anschauen könntest, ob das so stimmt und ggf. korrigierst:
Prüfe, ob die drei Vektoren eine Basis von V3 bilden:
a) (1/1/0), (2/3/2), (3/4/2)
-> V. sind linear unabhängig -> ja.
b) (3/-1/4), (2/2/1), (-1/2/4)
-> -"-, -> ja.
c) (3/3/-2), (2/-3/3), (-2/3/-3)
-> nein, denn 2 sind linear abhängig (2. und 3.)
d) (2/1/5), (-2/1/5), (2/-1/5)
-> ja, denn sie sind linear unabhängig.
e) hatten wir schon.
f) (2/3/1), (-1/3/-2), (3/2/-1)
-> ja.
g) (1/1/1), (-1/1/1), (1/-1/1)
-> ja.
h) (1/2/3), (2/3/4), (3/4/5)
-> ja.

stimmt das so?
und eine frage habe ich noch: ich habe hier immer geschaut, ob sich ein Vektor als Vielfaches des anderen darstellen lässt...hätte ich auch eine Linearkombination machen müssen?
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 00:17:31    Titel:

wenn jemand anderes als Hiob es weiß, macht es auch nichts Confused
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 01:20:21    Titel:

Sorry, ich war nochmal weg und mußte das hier alles noch schreiben.
Silent hat folgendes geschrieben:
und eine frage habe ich noch: ich habe hier immer geschaut, ob sich ein Vektor als Vielfaches des anderen darstellen lässt...hätte ich auch eine Linearkombination machen müssen?

Ja, Du hättest auch nach Linearkombinationen suchen müssen.

Um zu zeigen, daß eine Menge von Vektoren linear unabhängig ist, nimmt man an, daß sie linear abhängig sind und führt diese Annahme zu einem Widerspruch. Sind die Vektoren linear abhängig, so gibt man die Linearkombination (LK) an.

Silent hat folgendes geschrieben:
a) (1/1/0), (2/3/2), (3/4/2)
-> V. sind linear unabhängig -> ja.

Diese Vektoren sind linear abhängig, weil ich aus den ersten beiden den dritten linear kombinieren kann:
1*(1|1|0) + 1*(2|3|2) = (3|4|2).

Silent hat folgendes geschrieben:
b) (3/-1/4), (2/2/1), (-1/2/4)
-> -"-, -> ja.

Korrekt. Begründung: Angenommen, die Vektoren sind linear abhängig, dann gibt es eine LK:
a*(3|-1|4) + b*(2|2|1) = (-1|2|4).

Daraus folgen die Gleichungen
Code:
   a*3 + b*2 = -1,
a*(-1) + b*2 =  2 und
   a*4 + b*1 =  4.


Die erste wird umgestellt nach b*2:
b*2 = -1 - a*3.

Einsetzen in die anderen beiden Gleichungen (Die dritte wurde vorher verdoppelt) und vereinfachen:
Code:
a*(-1) + (-1 - a*3) = 2  =>  a*(-4) = 3  =>  a = -3/4 und
   a*8 + (-1 - a*3) = 8  =>     a*5 = 9  =>  a = 9/5.

a = -3/4 und a = 9/5 stehen im Widerspruch zueinander und somit ist die Annahme falsch und damit sind die Vektoren linear unabhängig.

Silent hat folgendes geschrieben:
c) (3/3/-2), (2/-3/3), (-2/3/-3)
-> nein, denn 2 sind linear abhängig (2. und 3.)

Korrekt.
0*(3|3|-2) + (-1)*(2|-3|3) = (-2|3|-3).

Silent hat folgendes geschrieben:
d) (2/1/5), (-2/1/5), (2/-1/5)
-> ja, denn sie sind linear unabhängig.

Korrekt. Begründung wie bei b).
A, d V s l a, dann gibt es LK:
a*(2|1|5) + b*(-2|1|5) = (2|-1|5)
Drei Gleichungen:
Code:
a*2 + b*(-2) =  2  =>  a = b + 1
a*1 + b*1    = -1  =>  b*2 = -2  =>  b = -1
a*5 + b*5    =  5  =>  b*10 = 0  =>  b =  0

Wegen Widerspruch sind die Vektoren linear unabhängig.

Silent hat folgendes geschrieben:
f) (2/3/1), (-1/3/-2), (3/2/-1)
-> ja.

Code:
a*(2|3|1) + b*(-1|3|-2) = (3|2|-1) =>

a*2 + b*(-1) =  3  =>  b = a - 3
a*3 + b*3    =  2  =>  a*6    = 11  =>  a = 11/6
a*1 + b*(-2) = -1  =>  a*(-1) =  7  =>  a = -7

Widerspruch => Basis.

Silent hat folgendes geschrieben:
g) (1/1/1), (-1/1/1), (1/-1/1)
-> ja.

Korrekt. Begründung...

Silent hat folgendes geschrieben:
h) (1/2/3), (2/3/4), (3/4/5)
-> ja.

Diese Vektoren sind linear anhängig:
(-1)*(1|2|3) + 2*(2|3|4) = (3|4|5).
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 01:48:00    Titel:

dankeschön, echt klasse die ausführliche Begründung samt Rechenweg! Smile

Also, ich fasse nochmal kurz zusammen:
- Ab-/Unabhängigkeit von 2 Vektoren: Ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen (oder der Nullvektor), so sind diese Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis im zweidimensionalen Vektorraum.
Wenn man 3 Vektoren auf lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit untersucht, prüft man, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist oder führt eine Linearkombination durch. Es ergeben sich 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten (unterbestimmtes LGS). Ist eine Linearkombination möglich, so liegt lineare Abhängigkeit vor und diese Vektoren bilden dann somit keine Basis im dreidimensionalen Vektorraum V3, andernfalls schon.
=> Ist das einigermaßen korrekt?
Und eine Frage noch: Was wäre, wenn man bei der Prüfung von 3 Vektoren für die beiden Unbekannten jeweils 0 bekäme. Sind dann die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis B? Question
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 02:06:47    Titel:

Silent hat folgendes geschrieben:
Also, ich fasse nochmal kurz zusammen:
- Ab-/Unabhängigkeit von 2 Vektoren: Ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen (oder der Nullvektor), so sind diese Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis im zweidimensionalen Vektorraum.
Wenn man 3 Vektoren auf lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit untersucht, prüft man, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist oder führt eine Linearkombination durch. Es ergeben sich 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten (unterbestimmtes LGS). Ist eine Linearkombination möglich, so liegt lineare Abhängigkeit vor und diese Vektoren bilden dann somit keine Basis im dreidimensionalen Vektorraum V3, andernfalls schon.
=> Ist das einigermaßen korrekt?

Ja, aber ich glaube, das LGS ist überbestimmt, da mehr Gleichungen als Unbekannte.
Silent hat folgendes geschrieben:
Und eine Frage noch: Was wäre, wenn man bei der Prüfung von 3 Vektoren für die beiden Unbekannten jeweils 0 bekäme. Sind dann die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis B? Question

In diesem Fall ist der dritte Vektor der Nullvektor:
0*v1 + 0*v2 = 0.
Damit ist der dritte Vektor sogar ein Vielfaches jedes der anderen Vektoren und die Vektoren bilden keine Basis.
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