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Erstellen einer Folge von Flächeninhaltsnäherung
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c-motte
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Anmeldungsdatum: 14.08.2005
Beiträge: 118

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 19:54:36    Titel: Erstellen einer Folge von Flächeninhaltsnäherung

Hallo,
ich soll zu f(x)= x^2 im Intervall (0,1) eine Folge zur Flächeninhaltsnäherung erstellen (also wenn ich Rechtecke einsetze).
Bisher habe ich folgendes:

An = 1/n * ( (1/n)^2 + (2/n)^2 + (3/n)^2 + ... + (n/n)^2 )
oder halt für (n/n)^2 = 1

Mein Problem ist, dass ich doch dieses ganze addieren mit 1 , 2, 3, etc. doch noch irgendwie anders fassen muss,
Conny
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 20:31:36    Titel:

Hi,

ich mache mal die Obersumme:

r=1/n, da Integral von 1..n

Dann ist der Flächeninhalt:

A=r*f(r)+r*f(2r)+r*f(3r)+...+r*f(nr)
=r(r^2+4*r^2+9*r^3+...+n^2*r^2 also nochmal r^2 ausklammern:
=r^3(1+4+9+...+n^2)
Die Klammer können wir mit der Summenformel der Quadratzahlen zusammenfassen:

S(n)=(1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6)

für den Beweis verwendest du vollständige Induktion: hab mal schnell gegoogelt und folgendes ist ganz gut: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm

Jetzt kann man das ganze noch schnell ein bisschen testen. z.B. für n=1000:

(Maple)

> r^3*sum(i^2,i=1..n);

r^3*(1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6)

> f := unapply(%,n);


f := n ->r^3*(1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6)

> r:=1/1000;

r := 1/1000

> f(1000);

667667
-------
2000000

> evalf(%);

.3338335000

Wenn du willst, kann ich das mit dem Summenformel der Quadratzahlen nochmal näher erklären


Zuletzt bearbeitet von KTU am 28 Aug 2005 - 21:03:05, insgesamt einmal bearbeitet
c-motte
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Anmeldungsdatum: 14.08.2005
Beiträge: 118

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 20:49:16    Titel:

hi,
vielen dank erstmal für deine hilfe.
allerdings muss ich gestehen, dass ich aus dem was du geschrieben hast nicht schlau werde - sorry. also integrale hatten wir nciht (der lehrer meinte wir machen das um anschliessend auf integrale zu kommen).
könntest du das vielleicht versuchen ohne integrale zu erklären? vielleicht ist es nur das wo ich gerade hängenbleibe,
conny
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 21:00:43    Titel:

Achso, stör dich nicht an dem Begriff Integral.

Male dir einfach die Rechtecke ein und nenne die Breite r, dann verstehst du auch die formel, wenn du berücksichtigst, dass ein Rechteck den Flächeninhalt r*f(r) usw. hat
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 21:10:13    Titel:

Die Formel kann man dann noch schnell zusammenfassen, wenn man r durch 1/n ersetzt, bzw r^3=1/n^3

muss jetzt leider weg. den grenzwert rechne ich dir morgen aus ja? hier das maple ergebnis:

> 1/n^3*(1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6);
(1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6)/(n^3)
> limit(%,n=infinity);
1/3

und das ist richtig
c-motte
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Anmeldungsdatum: 14.08.2005
Beiträge: 118

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 22:26:00    Titel:

ja, vielen dank nochmal für deine hilfe,
conny

p.s. was ist übrigens maple?
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 28 Aug 2005 - 23:14:27    Titel:

gern geschehn

Maple ist ein Computer Algebra System (CAS).
http://www.scientific.de/produkte/maple/maple-10/index.html

bekannter ist vielleicht:
http://www.wolfram.com/products/mathematica/index.html
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 02:30:21    Titel:

ich find ja S(n) = n(n+1)(2n+1)/6 schicker. Also:
1²+2²+3²+..+n² = n(n+1)(2n+1)/6.

Für A gilt dann:
Code:

A = 1/n * (1²/n²+2²/n²+3²/n²+..+n²/n²)
A = 1/n * 1/n² * (1²+2²+3²+..+n²)
A = 1/n³ * n(n+1)(2n+1)/6
A = (n+1)(2n+1)/(6n²)


Das letzte müßte dann sein, was Du wolltest, so wie ich das verstanden habe.
Naja, nu hab ich eigentlich nichts neues geschrieben
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 19:29:21    Titel:

jap, das ist auch die formel von der hp. ich hab nur aus faulheit mit Strg C und Strg V aus Maple rauskopiert. Da blieb die Ästhetik wohl auf dem Weg Wink
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