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Gradengleichungen
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easy87
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Anmeldungsdatum: 23.08.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 14:43:59    Titel: Gradengleichungen

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und mir das erklären:

Hier die Aufgabe:
In den Geradengleichungen wurden einige Koordinaten gelöscht und durch Variablen ersetzt. Setzen Sie neue Koordinaten ein so dass die Geraden folgende lagen einnehmen:
schneiden
windschief

gMad=(2/2/a) + r (b/6/4)
hMad=(6/c/0) + s (2/-3/d)


Vielen dank für eure Hilfe.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 29 Aug 2005 - 15:57:18    Titel: Re: Gradengleichungen

Erstmal setzt man die beiden Gerade gleich, um drei Gleichungen zu erhalten:
Code:
                g:x = h:x
(2|2|a) + r*(b|6|4) = (6|c|0) + s*(2|-3|d)
=>
I   2 + r*b = 6 + s*2     =>  s = r*b/2 - 2

II  2 + r*6 = c + s*(-3)  =>  2 + r*6 = c + (r*b/2 - 2)*(-3)
                          =>  r = (c+4)/(6+3*b/2)
                          =>  s = (c+4)/(6+3*b/2)*b/2 - 1
                          =>  s = (c+4)*b/(12+3*b) - 1

III a + r*4 = s*d
=>                 a + (c+4)/(6+3*b/2) * 4 = ((c+4)*b/(12+3*b) - 1)*d

=>                 a +   (c+4)*4/(6+3*b/2) = (c+4)*b*d/(12+3*b) - d  | Hauptnenner
=>  a*(12+3*b)/(12+3*b) + (c+4)*8/(12+3*b) = (c+4)*b*d/(12+3*b) - d*(12+3*b)/(12+3*b)
=>         [a*(12+3*b) + (c+4)*8]/(12+3*b) = [(c+4)*b*d - d*(12+3*b)]/(12+3*b)
=>          [12a + 3ab + 8c + 32]/(12+3*b) = [bcd + 4bd - 12d - 3bd]/(12+3*b)
=>          [12a + 3ab + 8c + 32]/(12+3*b) = [bcd + bd - 12d]/(12+3*b)
=>                             32/(12+3*b) = [-12a -3ab + bcd + bd - 8c - 12d]/(12+3*b)

Wegen der Nennerfunktion darf b=-4 nicht gelten, da die Funktion dann nicht definiert ist.

Schneiden:
Damit sich die Geraden schneiden muß gelten:
1. b ungleich -4
2. 32 = -12a -3ab + bcd + bd - 8c - 12d
Aus Gründen der geringen Komplexität wählt man sich zum Beispiel b=c=d=0. Dann ergibt sich a=-8/3 und damit
g:x=(2|2|-8/3) + r*(0|6|4),
h:x=(6|0|0) + s*(2|-3|0).

Test:
Gleichsetzen der Gerade, drei Gleichungen erhalten:
Code:
                   g:x = h:x
(2|2|-8/3) + r*(0|6|4) = (6|0|0) + s*(2|-3|0)
=>
I   2       = 6 + s*2  =>  s = -2

II  2 + r*6 = s*(-3)   =>  r = 2/3

III -8/3 + r*4 = 0     =>  -4/3 + 8/3 = 0

Alles glattgegangen: Schnittpunkt bei S = h(-2) = g(2/3) = (2|6|0).

Windschief:
Damit sich die Geraden nicht schneiden muß gelten:
1. b ungleich -4
2. 32 ungleich -12a -3ab + bcd + bd - 8c - 12d
Aus Gründen der geringen Komplexität wählt man sich zum Beispiel b=c=d=0. Dann ergibt sich a ungleich -8/3, also zum Beispiel auch a=0.

Test:
Gleichsetzen der Gerade, drei Gleichungen erhalten:
Code:
                g:x = h:x
(2|2|0) + r*(0|6|4) = (6|0|0) + s*(2|-3|0)
=>
I   2       = 6 + s*2  =>  s = -2

II  2 + r*6 = s*(-3)   =>  r = 2/3

III 0 + r*4 = 0        =>  0 + 8/3 = 0

8/3 = 0 ist ein Widerspruch, also gibt es keinen Schnittpunkt von g und h.
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