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Schnittpunkte von Geraden
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schnittpunkte von Geraden
 
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Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 14:26:52    Titel: Schnittpunkte von Geraden

hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:
zeige allgemein , dass sich die vier Raumdiagonalen des Einheitswürfels in einem Punkt S schneiden und berechne dann dessen Koordinaten!

ich kann mir das irgendwie nicht so genau vorstellen, welche 4 das denn sind, aber wenn sie sich schneiden sollen, dass muss das LGS genau eine Lösung besitzen..nur komme ich nicht auf das LGS, weil ich ja keine Geradengleichungen aufgestellt habe...
Vela
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Anmeldungsdatum: 17.08.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 16:31:23    Titel:

Hallo, die vier Raumdiagonalen in einem Würfel stellst du dir am besten so vor:

Leg mal einen quadratischen Zettel vor dich hin. Der hat logischerweise vier Eckpunkte.
Stell dir nun diesen Zettel als Grundfläche deines Würfels vor.

Nun nimmst du jeden dieser Eckpunkte her und stellst dir die Diagonale des Quadrats vor.

Beim Würfel kommt nun nur hinzu, dass der diagonal gegenüberliegende Punkt nicht in derselben Fläche ist, sondern zur "Deckelfläche" des Würfels gehört. Damit hast du die vier Raumdiagonalen und genau einen Schnittpunkt.

Ich hoffe, diese anschauliche Erklärung hilft dir weiter. Smile
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 17:14:46    Titel:

ja, jetzt kann ich mir die 4 Raumdiagonalen schon vorstellen Wink

aber wie würdest du es rechnerisch beweisen:
geradengleichungen zu allen 4 raumdiagonalen aufstellen und dann sagen:
d1 schneidet d2 in S(x/y/z) und dann müssen sich d3 und d4 ebenfalls in diesem punkt S schneiden. das wäre dann der gesuchte schnittpunkt S glaube ich
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 18:12:16    Titel:

ich würde den punkte einfach mal ausrechnen (kann man sich ja überlegen wo der liegt, is nich so schwer Smile )
dann behauptest du einfach:
der punkte S ist gleich ( , , )!
beweis:
dann zeigst du, dass S auf jeder der 4 diagonalen liegt => fertig.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 18:24:07    Titel:

Ich nehme an, das würde nicht als "allgemein" anerkannt werden, wobei mir selbst nicht klar ist, was in diesem Zusammenhang damit gemeint ist.
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 21:23:08    Titel:

hi nochmal,
ich habe die Lösung dann raus: Die 4 Raumdiagonalen eines Einheitswürfels schneiden sich alle in S(0,5/0,5/0,5).

Ich bin nun an einer anderen Aufgabe hängengeblieben:
Für welche Werte der Variablen a und b in den Gleichungen:
g: x= (4/0) + r(2/a) und h: x= (1/b) + s(3/5) sind g = h, g parallel zu h und g schneidet h?

Ich habs versucht mit Gleichsetzen der beiden Gleichungen, aber dann habe ich ja 4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen. Wie soll das denn nun gehen oder bin ich da auf dem Holzweg?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 02:52:56    Titel:

Silent hat folgendes geschrieben:
hi nochmal,
ich habe die Lösung dann raus: Die 4 Raumdiagonalen eines Einheitswürfels schneiden sich alle in S(0,5/0,5/0,5).
Und wie hast Du nun allgemein gezeigt, daß sich die Diagonalen in einem Punkt schneiden?

Silent hat folgendes geschrieben:

Ich bin nun an einer anderen Aufgabe hängengeblieben:
Für welche Werte der Variablen a und b in den Gleichungen:
g: x= (4/0) + r(2/a) und h: x= (1/b) + s(3/5) sind g = h, g parallel zu h und g schneidet h?

Parallel:
Das ist der einfache Teil. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Du mußt also a so setzen, daß (2|a) ein Vielfaches von (3|5) ist.

Schneiden:
Für zwei Geraden g: x= SV_g + rRV_g und h: x= SV_h + sRV_h mit Richtungsvektoren, die nicht Vielfaches voneinander sind, gilt:
Die Geraden schneiden sich, wenn der Stützvektor der einen Geraden in der Ebene liegt, die durch den Stützvektor der anderen Gerade und die Richtungsvektoren beider Geraden aufgespannt wird.

Ähm, huch. Das war, wie ich grad sehe, schon unnötig. Da die Geraden im zwei-dimensionalen Raum liegen, liegen sie automatisch in einer Ebene.
Dann muß demzufolge einfach nur erfüllt sein, daß die Richtungsvektoren nicht Vielfaches voneinander sind, damit sich die Geraden schneiden.

Naja, das andere kannst Du im höher-dimensionalen Fall benutzen.
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 10:03:35    Titel:

ich bin so vorgegangen:
ich habe zu jeder der vier raumdiagonalen eine geradengleichung aufgestellt.
dann habe ich bewiesen, dass sich d1 und d2 im punkt S (0,5/0,5/0,5) schneiden. selbiges erfüllen die anderen beiden raumdiagonalen d3 und d4. aber ob das jetzt allgemein gezeigt war? ich wüsste ehrlichgesagt nicht, wie es allgemeiner geht...es ist ja schon durch den namen "einheitswürfel" das allgemeine ein wenig spezialisiert.

danke für deinen lösungsansatz, werde mich gleich mal an die aufgabe wagen.
aber eins hattest du noch vergessen Wink
was muss erfüllt sein, damit g = h gilt, die geraden g und h also identisch sind und zusammenfallen?

PS: was ist eigentlich der unterschied zwischen parallel und echt parallel?
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2005 - 23:31:02    Titel:

hi Hiob,

ich habe mich (mal wieder) verrechnet...
Als Lösung habe ich nun, dass sich g und h für t = -1 in S(-1/9/2) für r=2 und s= -3 schneiden. Aber wie gehe ich nun genau vor, wenn ich nachweisen soll, dass sie windschief sind? ich habe da schon eine Ahnung, irgendwie über lineare Ab-/unabhängigkeit, aber ich komme da irgendwie auf keinen wert für t
Question
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 12:59:56    Titel:

Durch das LGS weißt Du, für welche Werte von t sich die Geraden schneiden. Wenn in den Geradengleichungen höhere Potenzen von t vorkommen, gibt es möglicherweise mehrere Werte.
Wenn t keinen dieser Werte annimmt, hast Du gezeigt, daß die Geraden nicht in einer Ebene liegen und damit windschief sind.
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