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Frage zu einer Ungleichung!
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Frage zu einer Ungleichung!
 
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toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 00:51:58    Titel: Frage zu einer Ungleichung!

Hallo,

ich muß Mathe pauken und habe eine Frage zu folgender Ungleichung:

1/2x-1 < 1/x-3

(Schade, dass es keine Formeleditor gibt! Wink )

Fallunterscheidung:

1. x < 1/2
2. x > 3
3. 1/2 < x < 3

Umformung:

1/2x-1 < 1/x-3 | *(2x-1) | *(x-3)

=> x-3 < 2x-1 | +3 | -2x
=> -1x < 2 |*(-1)
=> x > -2

Bis hierhin alles klar!

Mit 1.:
L1 = (-2;1/2)

Mit 2.:
L2 = (3;unendlich)

SO, JETZT ABER:

Bei 3. wird in der Lösung das Zeichen umgedreht!!!

x < -2

WARUM???

L3 = keine Lösungsmenge

Es wird doch nicht durch eine negative Zahl multipliziert bzw. dividiert, oder!

Ich verstehe das nicht und hoffe, ihr könnt die Sonne wieder scheinen lassen!

Gruß
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 01:23:13    Titel:

ohne mir das grossartig anzusehen: das dürfte mit den rechenregeln für ungleichungen zusammenhängen, da wurde mit einer negativen zahl multipliziert oder so was. zieh dir die regeln rein und sieh dir die schritte/voraussetzungen an, dann dürfte sich das ganze schnell aufklären.
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 01:30:33    Titel:

Hi Whooo und danke für die Antwort.
Ich habe mir die Regeln angesehen! Die 'relevanteste' besagt, dass bei Multiplikation bzw. Division durch eine negative Zahl das Zeichen umgedreht werden muß. Das ist klar!

Aber die Umformung muß bzw. kann man nur einmal machen, oder sehe ich das falsch?

Warum hat die Ungleichung 1. und 2. eine andere Lösung als 3.???

Ich sehe im 3. Fall keine negative ZahL!
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 01:32:10    Titel:

hm.. vielleicht ne kehrwertbildung, kehrwerte drehen den sinn auch um. ich hab jetzt nicht grossartig zeit, mir das genau anzusehen.
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 01:34:45    Titel:

Schade! Trotzdem danke!

Kehrwertbildung...hmmm!?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 05:32:24    Titel: Re: Frage zu einer Ungleichung!

Gibt zwar keinen Formeleditor hier, aber etwas günstiger hättest Du die Terme schon aufschreiben können - nämlich mit Klammern:

1/(2x-1) < 1/(x-3)

Fallunterscheidung:

1. x < 1/2:
Aus x < 1/2 < 3 folgen 1/(2x-1) < 0 und 1/(x-3) < 0.
Im ersten und zweiten Schritt wird also jeweils einmal mit einer negativen Zahl multipliziert.
Code:
   1/(2x-1) < 1/(x-3)      |*(2x-1)
=>        1 > (2x-1)/(x-3) |*(x-3)
=>      x-3 < 2x-1         |+(3-2x)
=>      -1x < 2            |*(-1)
=>        x > -2

=> L1 = (-2;1/2)


2. 1/2 < x < 3
Aus 1/2 < x < 3 folgen 1/(2x-1) > 0 und 1/(x-3) < 0.
Im ersten Schritt wird also mit einer positiven und im zweiten Schritt mit einer negativen Zahl multipliziert.
Code:
   1/(2x-1) < 1/(x-3)      |*(2x-1)
=>        1 < (2x-1)/(x-3) |*(x-3)
=>      x-3 > 2x-1         |+(3-2x)
=>      -1x > 2            |*(-1)
=>        x < -2

=> L2 = leer


3. 3 < x
Aus 1/2 < 3 < x folgen 1/(2x-1) > 0 und 1/(x-3) > 0.
Im ersten und zweiten Schritt wird also jeweils einmal mit einer positiven Zahl multipliziert.
Code:
   1/(2x-1) < 1/(x-3)      |*(2x-1)
=>        1 < (2x-1)/(x-3) |*(x-3)
=>      x-3 < 2x-1         |+(3-2x)
=>      -1x < 2            |*(-1)
=>        x > -2

=> L3 = (3; infinity)
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 15:39:54    Titel:

Hello again,

ich habe mir Deine Antwort mal durchgesehen.
Auf jeden Fall ist mir jetzt klar, warum das Zeichen umgedreht wird! Very Happy Very Happy

Vielleicht könntest Du mir noch eine Frage beantworten:

Ich habe offensichtlich Probleme mit dem Aufstellen der Ungleichungen.
Ich habe folgende Aufgabe gemacht!

(x-2)/(x+2) < -1

Mann, dachte ich! Das ist leicht!

Ich habe drei Fälle 'gesehen':

1. : x > 2 (Denke: Zähler darf nicht Null sein!)
2. : x < -2 (Denke: Nenner darf nicht Null sein!)
3. : -2 < x < 2 (Denke: dazwischen gibt es aber auch noch Möglichkeiten!)

1. Ungleichung:

(x-2)/(x+2) < -1 | *(x+2)
x-2 < -x-2 | +2
x < -x

also L1 = ()

2. Ungleichung:

(x-2)/(x+2) < -1 | *(x+2)
x-2 > -x-2 | +2
x > -x

L2 = (-3, unendlich)

Da schaue ich kurz in die Lösung, um zu checken, ob ich auf dem richtigen Weg bin...

und sehe das:

2 Fälle:

x + 2 > 0 und x + 2 < 0

Warum schreibt bei der Aufstellung den ganzen Term hin?
auch s. Deine Antwort:
Zitat:

1. x < 1/2:
Aus x < 1/2 < 3 folgen 1/(2x-1) < 0 und 1/(x-3) < 0.


Und was ist mit dem Nenner?

Über Hilfe wäre ich noch mal superdankbar!
[/quote]
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 16:34:55    Titel:

Haaaabbbäää noch eine Frage: Twisted Evil

Folgende Aufgabe:

3/(x+5) < 2

1. x + 5 > 0
2. x + 5 < 0

1. Ungleichung:
3/(x+5) < 2
=> 3 < 2x + 10
=> -7 < 2x
=> -3,5 < x

Ist klar! Sogar mir! Wink

L1 = (-3,5 ; unendlich)

2. Ungleichung:
3/(x+5) < 2
=> 3 > 2x + 10
=> -7 > 2x
=> -3,5 > x

Wenn es laut Ergebnis logisch wäre, dann wäre L2 = (-unendlich ; -3,5)

In der Lösung steht nun aber ganz fett: x < -5!!!

Warum errechnet man überhaupt eine zweite Ungleichung, wenn sie doch nichts aussagt?

Was sind die erstellten Fälle 1. (x + 5 > 0) und 2. (x + 5 < 0)?
So etwas wie Vermutungen?
Sind sie relevanter als eine errechnete Lösung?

Sorry, dass ich euch hier ewig damit nerve!
Ich würde eben nur gerne wissen, was ich warum mache!

Vielen Dank an euch!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2005 - 02:08:46    Titel:

Zur ersten Aufgabe:
(x-2)/(x+2) < -1.

Du hast das im Prinzip richtig gemacht mit einer Fehlannahme:
Der Zähler darf Null werden, der Nenner nicht. An den Stellen, an denen der Nennen Null wird befindet sich eine Definitionlücke eines Termes oder einer Funtion.

x darf also nicht -2 sein. Dann gibt es zwei Fälle:
1. x<-2:
Dann ist x+2<0:
Code:
   (x-2)/(x+2) < -1   |*(x+2)
=>         x-2 > -x-2 |+(x+2)
=>          2x > 0    |:2
=>           x > 0

=> L = leer

2. x>-2
Dann ist x+2>0:
Code:
   (x-2)/(x+2) < -1   |*(x+2)
=>         x-2 < -x-2 |+(x+2)
=>          2x < 0    |:2
=>           x < 0

=> L = (-2;0)

Zitat:
Warum schreibt bei der Aufstellung den ganzen Term hin?
auch s. Deine Antwort:
Zitat:
1. x < 1/2:
Aus x < 1/2 < 3 folgen 1/(2x-1) < 0 und 1/(x-3) < 0.

Was ist s?
Ob man den ganzen Term oder nur eine Ungleichung mit x hinschreibt, darf man sich aussuchen, solange klar ist, welche Termungleichung zu welchem x-Bereich gehört.

Zur zweiten Aufgabe:
Der erste Fall x+5>0 ist äquivalent zu x>-5. Durch die Rechnung kommt die Ungleichung x>-3,5 hinzu. Die neue Ungleichung schränkt stärker ein als die Ausgangsungleichung. Während nach der Ausgangsungleichung alle x aus (-5;unendlich) sein dürfen, dürfen die x nach der hinzukommenden Ungleichung nur noch aus (-3,5;unendlich) sein, das Intervall (-5;-3,5] fällt weg.
Die stärkere Einschränkung wird zur Lösungsmenge:
L = (-3,5;unendlich).

Der zweite Fall x+5<0 ist äquivalent zu x<-5. Durch Rechnung kommt die Ungleichung x<-3,5 hinzu.
Nach der Ausgangsungleichung dürfen die y aus (-unendlich;-5) sein, nach der neuen Ungleichung aus (-unendlich;-3,5).
Die Ausgangseinschränkung ist stärker, da ihr die x aus dem Intervall [-5;-3,5) fehlen.
Die stärkere Einschränkung wird zur Lösungsmenge:
L = (-unendlich;-5).

Zitat:

Warum errechnet man überhaupt eine zweite Ungleichung, wenn sie doch nichts aussagt?

Die zweite Ungleichung kann die Lösungsmenge weiter einschränken (1. Fall), muß aber nicht (2. Fall).

Zitat:
Was sind die erstellten Fälle 1. (x + 5 > 0) und 2. (x + 5 < 0)?
So etwas wie Vermutungen?
Sind sie relevanter als eine errechnete Lösung?

Die erstellten Fälle sind die Mengen die zwischen Definitionslücken (Nullnenner) liegen oder ganz links (-unendlich;..) oder ganz rechts (..;unendlich).
Nochmal ein Beispiel (von dem ich keine Ahnung, ob es rechnerisch was hergibt):
(2x-3)/x + (x+15)/(x²-4) < 2/(x+5)

Es gibt hier drei Nenner: x, (x²-4), (x+5).
x wird Null, wenn x=0 gilt. (x²-4) wird Null, wenn x=-2 oder x=2 gilt. (x+5) wird Null, wenn x=-5 gilt.

Also gibt es vier Definitionslücken, bei -5, -2, 0 und 2.

Dann erstellt man folgende Fälle:
1. x<-5 (ganz links)
2.-5<x<-2 (zwischen Def.Lücken -5 und -2)
3. -2<x<0 (zwischen Def.Lücken -2 und 0)
4. 0<x<2 (zwischen Def.Lücken 0 und 2)
5. 2<x (ganz rechts)

Für jeden dieser Fälle verhalten sich die Nenner anders, d.h. beim Auflösen wird das Relationszeichen anders gedreht.

Die erstellten Ungleichungen sind genauso relevant wie die danach errechneten.
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 09:52:33    Titel:

Mann Hiob, bin ich froh, dass es Dich gibt!

Super, wie Du mir das erklärt hast!
Ich bin Dir mega dankbar!!!

Ich habe mich direkt an einige Aufgaben gesetzt und
sie zum größten Teil gut hinbekommen! Echt klasse!

Vielleicht zum Abschluß! Wink

Welche Fälle gibt es bei der Aufgabe: (Betragx^2-5)/4 < 1

Gruß
Tox
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