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Frage zu einer Ungleichung!
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Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 13:42:00    Titel:

toxictype hat folgendes geschrieben:
Welche Fälle gibt es bei der Aufgabe: (Betragx^2-5)/4 < 1

ich bin mir nicht ganz sicher, wie das zu lesen ist.

|x²-5|/4 < 1

Hier ist schonmal ungewöhnlich im Gegensatz zum den vorherigen Aufgaben, daß von vornherein eine Ungleichung dasteht.
Falls Du kein Bild der Funktion vor Augen hast, geh mal hierher, lösch das Funktionenfeld (wo die cos-Funktion und die Wurzelfunktionen stehen) und gib die folgenden beiden Zeilen ein:
|x²-5|/4;
1

Wenn Du jetzt auf "Graph zeichnen" drückst siehst Du die Betragsfunktion (rot) und eine waagerechte Gerade auf der Höhe 1 (grün).

Bei Beträgen werden die negativen Teile der Funktion einfach an der x-Achse gespiegelt, in dem man dort die Funktion unter dem Betrag mit (-1) multipliziert. Um herauszufinden, wo die Spiegelungen anfangen, sucht man sich die Nullstellen der Betragsfunktion und prüft, wie sich die Funktion links und rechts der Nullstelle verhält.
Nullstellen:
0 = x²-5 |+5
5 = x² |Wurzel ziehen
x1 = -Wurzel(5) und x2 = Wurzel(5)

Die Funktion x²-5 ist links von x1 positiv, zwischen x1 und x2 negativ und rechts von x2 positiv. Der Betrag klappt also den Teil zwischen x1 und x2 um. Da es sich um eine Betragsfunktion handelt, darf auch Gleichheit mit den Grenzen vorkommen:
Für x<=x1 ist |x²-5|=x²-5,
für x>=x2 ist |x²-5|=x²-5 und
für x1<=x<=x2 ist |x²-5|=-(x²-5)=5-x².

Im Prinzip wären das jetzt auch schon die zu erstellenden Fälle, aber die Anfangsbedingung
|x²-5|/4 < 1
besagt, daß man sich nur einen bestimmten Teil der Funktion ansehen soll, nämlich den, der unterhalb von eins (unter der grünen Linie) liegt.
Hier kann man gut sehen, wo die Schnittpunkt zwischen der Betragsfunktion und der Eins-Funktion sind.
Wenn man das nicht so gut sehen kann, rechnet man die Schnittpunkte der Funktionen durch Gleichsetzen aus:
1 = |x²-5|/4 |:4
4 = |x²-5|
Aufspalten der Betragsfunktion:
4 = (x²-5) und 4 = (5-x²)

4 = (x²-5) |+5
9 = x² |Wurzel
x3 = -3 und x4 = 3

4 = (5-x²) |-5
-1 = -x² |*(-1)
1 = x² |Wurzel
x5 = -1 und x6 = 1

Die Funktion ist demnach schon eingeschränkt auf die Intervalle (offene Intervalle, da die Anfangsfunktion eine echte Ungleichung ist, die Funktion also echt kleiner 1, also inbesondere ungleich 1 sein soll):
(-3;-1) oder (1;3).

Das ändert die zu erstellenden Fälle:
x<=x1 wird zu -3<x<=x1,
x1<=x<=x2 wird zu zwei Teilen: x1<=x<-1 oder 1<x<=x2 und
x>=x2 wird zu x2<=x<3.
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