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Aussagenlogik
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toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 01:00:25    Titel: Aussagenlogik

Hello again,

In einer Aufgabe soll folgende Formel vereinfacht werden:

(A v B) -> ((A ^ C) v B)

Also:
(-A ^ -B) v ((A ^ C) v B)

Ich habe mir gedacht, dass ich das Distributivgesetz anwende und somit folgenden Ansatz gehabt:

... ((A ^ C) v B) => ... (A v B) ^ (C v B)

Da schaue ich mir zum Schluß die Lösung an und sehe folgendes (unglaubliches Wink ):

(A ^ C) v B => ... (A ^ C) v B

Warum kann man hier so einfach die Klammern weglassen???

Gruß
Tox
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 04:51:30    Titel:

Irgendwie versteh ich nicht ganz, worauf Du am Ende gekommen bist.
ich komme auf folgendes. Davon sollte eine der letzten Zeilen die gesuchte Vereinfachung sein oder es ist:
-A v B v C.

Also:
Code:

   (A v B) -> ((A ^ C) v B)                            |         A->B <=> -AvB
=> -(A v B) v ((A ^ C) v B)                            |       -(AvB) <=> -A^-B
=> (-A ^ -B) v ((A ^ C) v B)                           |      Av(BvC) <=> (AvB)vC
=> [(-A ^ -B) v (A ^ C)] v B                           |      Av(B^C) <=> (AvB)^(AvC)
=> [((-A ^ -B) v A) ^ ((-A ^ -B) v C)] v B             |      (A^B)vC <=> (AvC)^(BvC)
=> [((-A v A) ^ (-B v A)) ^ ((-A ^ -B) v C)] v B       |      (A^B)vC <=> (AvC)^(BvC)
=> [((-A v A) ^ (-B v A)) ^ ((-A v C) ^ (-B v C))] v B |     (Av-A)^B <=> B
=> [(-B v A) ^ ((-A v C) ^ (-B v C))] v B              |      (A^B)vC <=> (AvC)^(BvC)
=> ((-B v A) v B) ^ [((-A v C) ^ (-B v C)) v B]        |      (A^B)vC <=> (AvC)^(BvC)
=> ((-B v A) v B) ^ [((-A v C) v B) ^ ((-B v C) v B)]  |          AvB <=> BvA
=> ((A v -B) v B) ^ [((-A v C) v B) ^ ((-B v C) v B)]  |          AvB <=> BvA
=> ((A v -B) v B) ^ [((-A v C) v B) ^ ((C v -B) v B)]  |      (AvB)vC <=> Av(BvC)
=> (A v (-B v B)) ^ [((-A v C) v B) ^ ((C v -B) v B)]  |      (AvB)vC <=> Av(BvC)
=> (A v (-B v B)) ^ [((-A v C) v B) ^ (C v (-B v B))]  | (Av(Bv-B))^C <=> C
=> ((-A v C) v B) ^ (C v (-B v B))                     | A^(Bv(Cv-C)) <=> A
=> (-A v C) v B                                        |      (AvB)vC <=> Av(BvC)
=> -A v (C v B)                                        |          AvB <=> (-A->B)
=> (A -> (C v B))                                      |          AvB <=> BvA
=> (A -> (B v C))
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 10:48:57    Titel:

Wow, ich bin verblüfft!
Das ist die Lösung!

Ich werde mir das mal ausdrucken und mit meiner Lösung vergleichen.
Wie gehst Du bei so einer Aufgabe vor? Worauf sollte man achten, damit man die Formeln korrekt anwendet? Hast Du einen Tipp?

Vielen Dank erstmal!

Tox
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 13:29:55    Titel:

toxictype hat folgendes geschrieben:
Wie gehst Du bei so einer Aufgabe vor? Worauf sollte man achten, damit man die Formeln korrekt anwendet? Hast Du einen Tipp?

Im Prinzip sollte man halt probieren, soweit wie möglich alle logischen Operationen aufzuschlüsseln, so daß die Terme am Ende so wenig geklammert sind wie möglich.
Zwischendurch sucht man immer schon nach Ausdrücken, die wegfallen wie:
(A v -A) ^ B <=> B.

Ich versuche am Ende lauter Disjunktionen (Oder-Terme), die durch Konjunktion (Und) verbunden sind, zu bekommen oder lauter Konjunktionsterme, die durch Disjunktion verbunden sind.
Eben weil Und und Oder die einfachsten Verknüpfungen sind.

Wenn Du Probleme beim Formelanwenden hast (Übertragungsfehler), dann schreib Dir erst die Formel hin, die Du benutzen möchtest, dann wofür die Ausgangsterme stehen und dann welche Endterme entstehen. Zum Beispiel:
Code:

=> [((-A v A) ^ (-B v A)) ^ ((-A v C) ^ (-B v C))] v B |     (Xv-X)^Y <=> Y
NR: X:=-A und Y:=(-B v A)
     (-A v A) ^ (-B v A)
  = (Xv-X)^Y
<=> Y
  = (-B v A)
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 15:26:09    Titel:

Hallo Hiob,

tausend Dank!

Ich werde mich gleich mal an ein paar Aufgaben üben!

Bis später!
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 21:33:47    Titel:

Hallo Hiob,

da bin ich wieder!!!
Ich muß mich nun erstmal mit Aussagenlogik befassen!
Das kommt in der Arbeit auch vor. Crying or Very sad

Ich habe noch mal eine Frage zur 3. Zeile Deiner Lösung:

=> (-A ^ -B) v ((A ^ C) v B) |Av(BvC) <=> (AvB)vC

Warum hast Du hier die Assoziativität angewandt?
Ich habe schon zwei Aufgaben mit ähnlichen Darstellungen gehabt und
'instinktiv' immer mit der Distributivität 'gerechnet'!

Natürlich hatte ich falsche Ergebnisse! Rolling Eyes

Gibt es irgendeine Regel, die ich nicht mitbekommen habe?
Z.B., dass man Assoziativität vor Distributivität anwendet?

Was hat es eigentlich mit den Zeichen '^' und 'v' auf sich?
Angenommen, man hat folgende Zeile:

-B v (-A ^ A) ^ (C v B)

(-A ^ A) ergibt 0!

Welches Zeichen muß ich dann streichen?
Das 'v' nach -B oder das ^ vor (C v B)?

Vielen Dank, Hiob!

Viele Grüße, der nicht aufgibt! Wink
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2005 - 00:06:52    Titel:

Hallo,

ich habe noch ein paar Aufgaben gemacht und würde mich freuen, wenn ihr mir noch eine Frage beantworten und mir eure Meinung bzw. Lösung mitteilen könntet.

Diese hier schreibe ich mal ausführlich:

(A -> B) -> (-B -> C)

=> -(-A v B) v (B v C)
=> (A ^ -B) v (B v C)
=> A ^ -B v (B v C)
=> -B v (B v C) ^ A
=> -B v (B ^ A) v (C ^ A)
=> (-B v B) ^ (-B v A) v (C ^ A) | lt. Formelsammlung: (-B v B) => 1(w)
=> 1 ^ (-B v A) v (C ^ A)
=> 1 ^ (-B v A) v C ^ A
=> 1 ^ A ^ (-B v A) v C | lt. Formelsammlung: A ^ 1(w) <=> 1
=> A ^ (-B v A) v C
=> A v C

Laut Lösung ist das Ergebnis leider falsch! Question
Wo liegt mein Fehler?

2)
((A -> B) ^ -B) -> -A

Meine Lösung:
B

3)
(A -> B) -> ((B -> C) -> (A -> C))

Meine Lösung:
1 v -B ^ C v -A

Ich glaube, mit der '1' liege ich falsch!
Ich bin nach meiner Formelsammlung gegangen!

Ich hoffe, ihr könnt mir noch mal helfen!
Am Donnerstag ist es soweit! Crying or Very sad

Danke!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2005 - 03:12:08    Titel:

toxictype hat folgendes geschrieben:
Ich habe noch mal eine Frage zur 3. Zeile Deiner Lösung:

=> (-A ^ -B) v ((A ^ C) v B) |Av(BvC) <=> (AvB)vC

Warum hast Du hier die Assoziativität angewandt?
ich habe schon zwei Aufgaben mit ähnlichen Darstellungen gehabt und
'instinktiv' immer mit der Distributivität 'gerechnet'!
[...]
Gibt es irgendeine Regel, die ich nicht mitbekommen habe?
Z.B., dass man Assoziativität vor Distributivität anwendet?

Ich hab, glaube ich, auch erst Assoziativität angewandt. Das, was ich Dir geschrieben haben, war auf jeden Fall mein zweiter Versuch Wink
ich kenne keine Regel, die einem hilft, eine Gesetz vorzuziehen.

toxictype hat folgendes geschrieben:
Was hat es eigentlich mit den Zeichen '^' und 'v' auf sich?
Angenommen, man hat folgende Zeile:

-B v (-A ^ A) ^ (C v B)

(-A ^ A) ergibt 0!

Welches Zeichen muß ich dann streichen?
Das 'v' nach -B oder das ^ vor (C v B)?


"^" ist das Konjunktionszeichen und wird "und" gesprochen, "v" ist das Disjunktionszeichen und wird "oder " gesprochen.
Beide Zeichen verbinden jeweils zwei logische Ausdrücke und formen einen neuen logischen Ausdruck.
A ^ B ist dann wahr (=1), wenn A wahr ist und B wahr ist. In den anderen Fällen ist A^B falsch (=0).
A v B ist dann wahr, wenn A wahr ist oder B wahr ist, d.h. auch wenn A und B wahr sind. Im übrigen, also wenn A und B falsch sind, ist AvB falsch.

Die Zeile, die Du geschrieben hast, macht erstmal keinen Sinn. Bei uns mußt Du in der Zeile noch Extra-Klammern einfügen, da sonst nicht geklärt ist, was gemeint ist. Man kann nicht unterscheiden ob
-B v ((-A ^ A) ^ (C v B)) oder
(-B v (-A ^ A)) ^ (C v B) gemeint ist.
Deshalb weiß man nicht auch nicht, was wegfällt bzw wie der Ausdruck zu werten ist.

Manchmal allerdings vereinbahrt man, daß entweder das erste (v) oder das zweite (^) Zeichen die äußere Verknüpfung angibt.

toxictype hat folgendes geschrieben:
(A -> B) -> (-B -> C)

=> -(-A v B) v (B v C)
=> (A ^ -B) v (B v C)
=> A ^ -B v (B v C)


Die letzte Umformung ist nicht erlaubt. Du darfst hier nicht einfach die Klammern wegfallen lassen.
Hier mein Versuch:
Code:
(A -> B) -> (-B -> C)
=> -(-A v B) v (B v C)
=> (A ^ -B) v (B v C)
=> ((A ^ -B) v B) v C
=> ((A v B) ^ (-B v B)) v C
=> (A v B) v C
=> A v B v C


Code:
((A -> B) ^ -B) -> -A
=> -((-A v B) ^ -B) v -A
=> (-(-A v B) v B) v -A
=> ((A ^ -B) v B) v -A
=> ((A v B) ^ (-B v B)) v -A
=> (A v B) v -A
=> (B v A) v -A
=> B v (A v -A)
=> B


Die nächste Aufgabe hab ich jetzt zweimal gerechnet und komm beide Male auf das gleiche Ergebnis. Trotzdem denke ich, daß das Ergebnis falsch ist. Hier trotz allem die Rechnung.
Code:
(A -> B) -> ((B -> C) -> (A -> C))
=> (-A v B) -> ((-B v C) -> (-A v C))
=> -(-A v B) v (-(-B v C) v (-A v C))
=> (A ^ -B) v ((B ^ C) v (-A v C))
=> [A v ((B ^ C) v (-A v C))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [A v ((B v (-A v C)) ^ (C v (-A v C)))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [(A v (B v (-A v C))) ^ (A v (C v (-A v C)))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [(A v ((B v -A) v C)) ^ (A v (C v (-A v C)))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [((A v (B v -A)) v C) ^ (A v (C v (-A v C)))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [((A v (-A v B)) v C) ^ (A v (C v (-A v C)))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [(((A v -A) v B) v C) ^ (A v (C v (-A v C)))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [A v (C v (-A v C))] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [A v ((C v -A) v C)] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [(A v (C v -A)) v C] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [(A v (-A v C)) v C] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [((A v -A) v C) v C] ^ [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [-B v ((B ^ C) v (-A v C))]
=> [-B v ((B v (-A v C)) ^ (C v (-A v C)))]
=> [(-B v (B v (-A v C))) ^ (-B v (C v (-A v C)))]
=> [((-B v B) v (-A v C)) ^ (-B v (C v (-A v C)))]
=> [-B v (C v (-A v C))]
=> [-B v (C v (C v -A))]
=> [-B v ((C v C) v -A)]
=> -B v C v -A
=> -A v -B v C

(A -> B) -> ((B -> C) -> (A -> C))
=> (-A v B) -> ((-B v C) -> (-A v C))
=> -(-A v B) v (-(-B v C) v (-A v C))
=> (A ^ -B) v ((B ^ C) v (-A v C))
=> (A ^ -B) v (((B ^ C) v -A) v C)
=> (A ^ -B) v (((B v -A) ^ (C v -A)) v C)
=> (A ^ -B) v (((B v -A) v C) ^ ((C v -A) v C))
=> (A ^ -B) v (((B v -A) v C) ^ (C v -A))
=> (A ^ -B) v ((B v (-A v C)) ^ (C v -A)) | (AvC)^C <=> C
=> (A ^ -B) v (C v -A)
=> (A ^ -B) v (-A v C)
=> ((A ^ -B) v -A) v C
=> ((A v -A) ^ (-B v -A)) v C
=> (-B v -A) v C
=> -A v -B v C


Zuletzt bearbeitet von Hiob am 06 Sep 2005 - 15:08:42, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2005 - 11:23:26    Titel:

Hallo Hiob,

Zitat:

Die letzte Umformung ist nicht erlaubt. Du darfst hier nicht einfach die Klammern wegfallen lassen.
Hier mein Versuch:
Code:

(A -> B) -> (-B -> C)
=> -(-A v B) v (B v C)
=> (A ^ -B) v (B v C)
=> ((A ^ -B) v B) v C
=> ((A v B) ^ (-B v B)) v C
=> (A v B) v C
=> A v B v C


Wann kann ich Klammern weglassen und wann nicht?
Hat es etwas mit '^' oder 'v' in der Klammer zu tun?

Wir haben bei einer Aufgabe das gleiche Ergebnis!?
JUHUUU!!! Very Happy

Die dritte werde ich mir gleich noch mal zu Gemüte führen.

Kann mir jemand bitte etwas zu 1 (w) und 0 (f) bzw. A ^ -A = 0 und A v -a = 1 sagen. Wie rechne bzw. behandel eine 1 oder 0?

Vielen Dank für die Hilfe! Idea

Tox
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2005 - 14:04:59    Titel:

@ Hiob:

Hallo,
ich habe mir Deine Lösungen angesehen. Bin sogar bei der (A -> B) -> ((B -> C) -> (A -> C)) bis zur dritten Zeile gekommen! Confused

Ich denke, Du kannst mir locker die aufgekommenen Fragen beantworten:

Zeile 3:
ergibt (-(-B v C) nicht (B ^ -C) ?

lt. Formelsammlung: -(A v B) <=> -A ^ -B (de Morgan)

Zeile 4 auf 5:

Warum führst Du hier diese Operation aus?
Wie und was siehst Du darin, um die Operation auszuführen?
Das verstehe ich nicht ganz!
Würde hier auch eine andere Operation funktionieren?

Danke Dir, Hiob!

Gruß
Tox

P.S.: Ohne Deine Hilfe könnte ich mir den Weg zur Prüfung sparen! Wink
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