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komme bei alter Klausuraufgabe nicht weiter... :-(
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Markus-Aachen
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Anmeldungsdatum: 05.09.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 12:28:15    Titel: komme bei alter Klausuraufgabe nicht weiter... :-(

Hallo ihr Helfer in der Not Smile

Kann mir einer eine Antwort auf folgende Aufgabe geben Question

In einem gleichseitigem Dreieck mit der Seitenlänge c soll ein Rechteck mit maximalen Flächeninhalt aufgespannt werden.
Wie lang sind die Seiten des Rechtecks b und c?

Ich habe schon einige Stunden damit verbracht und komme einfach nicht zu einem Ergebnis. Wenn ich dann was ableiten wollte, hatte ich nur Konstanten
-> 0 -> führt zu keinem Ergebnis... Sad

Eigentlich ist ja A(a,b) = a*b.
a=a(b), b=b(a) implizit differenziert, 0 gesetzt und in die Ursprungsformel wieder eingesetzt. Oder sehe ich es völlig falsch?

Vielen Dank für eure Hilfe Exclamation

Grüße aus Aachen

Markus
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 13:24:41    Titel:

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks ist c und auch eine Seite des Rechteckes ist c?

Wenn ich richtig verstehe, willst Du ein maximalflächiges Rechteck in ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge c basteln.

Ein gleichseitiges Dreieck hat wie der Name schon sagt drei gleichlange Seiten (also alle Seiten haben Länge c).
Bedeutet, es spielt keine Rolle von welcher "Grundseite" Du aus das Rechteck reinmachen willst.
Ein gleichseitiges Dreieck hat auch als innenwinkel überall 60 Grad.

Dein Rechteck hat jetzt mal die Seiten a und b.

a wird sich auf der Dreickesgrundseite c befinden und die Mitte von a ist auch die Mitte von c
b ist die senkrecht gerichtete Seite Deines Rechtecks

Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks kannst Du über Pythagoras berechnen.

Am besten zeichnest Du jetzt mal probeweise ein gleichseitiges Dreieck
und seine Höhe.
Dann zeichnest Du ein Rechteck, daß sich an der Höhe des Dreiecks achsenspiegelt.

Man kann sehen, daß ein neues gleichseitges Dreieck entsteht zwischen der oberen waagrechten Seite des Rechtecks und der Spitze des großen gleichseitigen Dreiecks.
Die Höhe des großen Dreiecks minus die Höhe des kleinen Dreiecks ergibt die eine Länge des Rechtecks.
Diese kann allerdings nur in Abhängikeit zur anderen Seite des Rechteckes berrechnet werden.
Um unter den vielen Möglichkeiten die maximale herauszufinden stellt man eine Funktion der Fläche des Rechteckes auf und sucht die, den Extremwert/e.

Gruß allesistzahl
Markus-Aachen
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Anmeldungsdatum: 05.09.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 14:33:32    Titel:

[quote="allesistzahl"]Diese kann allerdings nur in Abhängikeit zur anderen Seite des Rechteckes berrechnet werden.
Um unter den vielen Möglichkeiten die maximale herauszufinden stellt man eine Funktion der Fläche des Rechteckes auf und sucht die, den Extremwert/e.[/quote]

hm, da habe ich mich vertippt. Rechteck a,b; Dreieck c; richtig interpretiert Smile

Und genau da ist mein Problem.

ich habe:

b(a)= (c-a) *sqrt(3)/2 und ....... sqrt=Wurzel

a(b)= c - b/sin(60°) = c - b *2/sqrt(3)

A=a*b= [(c-a) *sqrt(3)/2] * [(c-b) *2/sqrt(3)]

=> A= c² - c*b - c*a - a*b

jetzt ableiten:

dA/da = -c + b =0 => b = c

dA/db = -c + a =0 => a = c

Wenn ich das jetzt oben einsetze, dann bekomme ich :

A= c² - c² -c² +c² = 0

Das ist mein Problem, an dem ich seit stunden hänge... Sad
allesistzahl
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 16:22:38    Titel:

Hab es jetzt mal schnell durchgerechnet.. ich krieg raus, daß die eine Rechteckseite genau doppelt so groß sein muß, wie die andere.

Ansatz ist der Gleiche..

A = (c-a) * wurzel 3 * 0.5 a

dann f(x) = - wurzel 3 / 2 * x^2 + wurzel 3 / 2 *cx

die erste Ableitung ausrechnen und = 0 setzen.
Da gibt es Lösung 1. : x = 0 und 2. : c = 2x
x entspricht aber dem a aus der Flächengleichung, also ist c = 2a

Die zweite Ableitung gibt an, daß es sich um ein Maximum handelt, also da auch alles ok.

Mit c = 2a kann man dann weiterrechnen..
b = wurzel 3 /2c - wurzel 3/2 a

jetzt anstelle des c das 2a einsetzen..

und man bekommt heraus, daß b = 0.5a ist...
wenn ich mich nicht verrechnet habe Smile
Markus-Aachen
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Anmeldungsdatum: 05.09.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 18:29:50    Titel:

Very Happy Smile

Vielen Dank für deine Hilfe, habe es geschafft!!! Hatte einmal falsch umgestellt und habs die ganze Zeit nicht gemerkt... *mir an den Kopf greif*

Liebe Grüße Markus
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