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Lineare Gleichungen
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Nocturne
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Anmeldungsdatum: 07.09.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2005 - 21:10:05    Titel: Lineare Gleichungen

Hallo,
habe mich soeben hier angemeldet da meine Freundin, die nun in Klasse 11 ist, ein Problem bei ihren Mathehausaufgaben hat und weil ich dieses WS mein Logistikstudium an der Uni Dortmund antrete.

Ihre Hausaufgaben:

Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A (-8/-6) und B (-1/5) gegeben.
Die Seite BC des Dreiecks schneidet die Y-Achse bei -12 und AC die X-Achse bei -3. Bestimme die Koordinaten des Eckpunkts C und die Gleichung der Geraden die auf den Dreieckssiten liegen.

Sie muss dies zeichnerisch und rechnerisch lösen. Zeichnerisch haben wir es zusammen noch hinbekommen doch rechnerisch hatte ich keine Ahnung mehr wie das geht (hatte leider kein Mathe als Abi-Fach ;-( )

Ich glaube sogar, dass ich so etwas zuletzt in der 9. Klasse gerechnet habe :/

Danke schonmal!
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 08 Sep 2005 - 00:49:42    Titel: Re: Lineare Gleichungen

Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A (-8/-6) und B (-1/5) gegeben.
Die Seite BC des Dreiecks schneidet die Y-Achse bei -12 und AC die X-Achse bei -3. Bestimme die Koordinaten des Eckpunkts C und die Gleichung der Geraden die auf den Dreieckssiten liegen.

BC schneidet also die y-Achse im Punkt
Y=(0|-12).

AC schneidet die x-Achse im Punkt
X=(-3|0).

Also liegen die Punkte B und Y auf der Seite BC. Die Punkte A und X liegen auf der Seite AC. C ist gemeinsamer Punkt von AC und BC.

Man entwickelt die Geradengleichungen für AC und BC.
Hat man zwei Punkte
P=(x_P|y_P) und Q=(x_Q|y_Q),
so entwickelt man für die allgemeine Geradengleichung
y = m*x + n
(m - Steigung der Gerade, n - Schnittpunkt von Gerade und y-Achse)
zuerst die Steigung m:
m = (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P).
Danach setzt man einen Punkt in die Geradengleichung ein und stellt nach n um:
y_P = m*x_P + n |-m*x_P
=> n = y_P - m*x_P.


A=(-8|-6), X=(-3|0), B=(-1|5), Y=(0|-12).
Für die Gerade AC hat man die Punkte A und X:
m = (0-(-6))/(-3-(-8)) = 6/5 = 1,2.
n = -6 - 6/5*(-8) = -6 + 48/5 = 18/5 = 3,6.
=>
y = 6/5*x + 18/5

Für die Gerade BC hat man die Punkte B und Y:
m = (-12-5)/(0-(-1)) = -17/1 = -17.
n = 5 + 17*(-1) = 5 - 17 = -12.
=>
y = -17*x - 12

C ist der Schnittpunkt der Seiten AC und BC. Um C zu finden, setzt man die Geradengleichungen gleich und findet x_C:
6/5*x + 18/5 = -17*x - 12 |-(18/5-17*x)
91/5*x = -78/5 |:91/5
x = -78/91

x_C = -78/91

Das setzt man jetzt in eine der Gleichungen ein, um y_C zu erhalten:
y = -17*x_C - 12
y = -17*(-78/91) - 12
y = 234/91 = 18/7

y_C = 18/7

Dann gilt:
C=(-78/91|18/7)
Pik4Zz
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Anmeldungsdatum: 08.09.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 08 Sep 2005 - 11:01:35    Titel:

oha das sieht ja kompliziert aus Wink

ich glaube in der 11. faengt man mit vektoren an also mache ich das mal so

gegeben: A(-8/-6); B(-1/5); (0/-12) € BC; (-3/0) € AC

gesucht: C

es handelt sich um das problem den schnittpunkt zweier graden zu ermitteln, die durch 2 punkte definiert sind.
richtungsvektor lamda:
(das hier sind keine bruchstriche. mit dem "/"-zeichen sollen lediglich die x- von der y-koordinate getrennt werden)

lamda: (-1/5) - (0/-12) = (-1/17)
mü: (-8/-6) - (-3/0) = (-5/-6)


als aufpunkt fuer a wird der punkt (0/12) verwendet:

a: vektor x = (0/12) + lamda*(-1/17)

b: vektor x = (-3/0) + mü*(-5/-6)

gleichsetzen:

0 - lamda = -3 - 5mü | *17
-12 + 17lamda = 0 - 6mü

-17lamda = -51 - 85mü |
-12 + 17lamda = 0 - 6mü | +

-12 = -51 - 91mü

91mü = 39

mü = 3/7 (echter bruchstrich)

b: vektor x = (-3/0) + mü*(-5/-6) | mü = 3/7

=> C (-6/7 / 18/7)

btw Hiob: 78 und 91 haben einen gemeinsamen teiler Wink


Zuletzt bearbeitet von Pik4Zz am 08 Sep 2005 - 14:16:17, insgesamt einmal bearbeitet
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 08 Sep 2005 - 13:56:43    Titel:

Hoi, stimmt. Hab ich ja zwischendurch auch mal gekürzt und dann gleich wieder vergesen oder ich war nicht ganz dabei.
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