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Zahlenfolgen monotonie
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DerBlaueLeguan
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Anmeldungsdatum: 11.09.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 13:00:48    Titel: Zahlenfolgen monotonie

Hi benötige eine Unterstürzung habe mich wohl etwas verrannt

(an) = (n/2 + 1/n)

a1 = 1 1/2 Vermutung: monoton wachsend
a2 = 1 1/2 zu zeigen: (a <_ a )
n+1 n



a3 = 1 5/6
n+1 + 1 < ( n + 1)
---- ---- - -
2 n+1 2 n

a4 = 2 1/4
a5 = 2 7/10
Mathestudent
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Anmeldungsdatum: 11.09.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 15:16:31    Titel:

Hallo,

um monotones Wachstum zu zeigen musst du beweisen, dass

a ( n ) <= a(n + 1)

in diesem Fall wäre das :

n/2 + 1/n <= ( n + 1 ) / 2 + 1 / ( n + 1 )

( ím folgenden bedeutet n^2 = n hoch 2 )

nun sieht man sicher ein, dass n/2 <= ( n + 1 ) / 2 ist, aber da man
weis, dass 1 / n >= 1 / n+1 ist, hat man ein Problem. Dies beseitigt man
am besten damit, indem man beide Seiten mit ( n+ 1 ) multipliziert :

n( n + 1) / 2 + ( n + 1 ) / n <= ( n + 1)*( n + 1) / 2 + 1

<=>

( n^2 + n ) / 2 + 1 + 1/n <= ( n^2 + 2 * n + 1 ) /2 + 1

jetzt -1 - n^2-n/2 auf beiden Seiten :

1/n <= 1/2 + 1

und dies ist richtig für alle n >= 1, z.b. 1/1, 1/2, 1/3 . . .

ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen .
hallo123
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Anmeldungsdatum: 12.12.2005
Beiträge: 1900

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2005 - 17:09:22    Titel:

Mathestudent hat folgendes geschrieben:


1/n <= 1/2 + 1

und dies ist richtig für alle n >= 1, z.b. 1/1, 1/2, 1/3 . . .

ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen .


wie kommst du denn auf diese umformung?
also wenn du - 1 und - n²+n/2 rechnest, dann kommt bei mir da
1/n <= 1/2 + n/2
raus.

und im endeffekt dann

0 <= n² + n -2

was ich erstmal gleich null setzen würde, also
0=n²+n-2
das ist ja eine quadratische gleichung, also kann ich n nach der pq formel ausrechnen. der negative wert entfällt, da n positiv sein muss. also:
n= [wurzel]4,25 - 1/2
und da ich ja weiß wie der graf einer quadratschen funktion(parabel^^) ist, muss n kleiner oder gleich diesem wert sein, damit der term n²+n-2 kleinergleich null ist.
also:

n<=[wurzel]4,25 - 1/2

oder ist das falsch?

gruß
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