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beweis der Beschraenktheit
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tog_gi
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Anmeldungsdatum: 28.08.2005
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 16:24:52    Titel: beweis der Beschraenktheit

hi hi ~

ich lese mir grad einen beweis ueber die beschraenktheit einer Funktion im interval [a b] durch..

und kapier die Voraussetzung schon mal nicht...
Da steht

Zuerst beweisen wir mit Hilfe des Indirekten Beweises, daß die Funktion f auf dem Intervall [a; b] beschränkt ist. Wenn f beschränkt ist, dann gibt es eine Zahl M, so daß gilt M kleiner gleich |f(x)| für alle x element [a; b].

Warum sollte es denn ueberhaupt ne Zahl M geben das kleiner gleich |f(x)| ist? und wieder die Betragsstriche?
Wie kommt ich denn ueberhaupt darauf?
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 16:26:27    Titel:

müsste M nicht grösser gleich |f(x)| für alle x aus [a,b] sein?
tog_gi
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Anmeldungsdatum: 28.08.2005
Beiträge: 997
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 16:28:51    Titel:

da steht kleiner gleich.
gaaaanz sicher..
also dass es da steht..
ob das richtig ist, ist ne andere frage..
tog_gi
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Anmeldungsdatum: 28.08.2005
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 16:30:07    Titel:

vllt der ganze beweis..
den ich ueberhaupt nicht kapiere.

Beweis
Zuerst beweisen wir mit Hilfe des Indirekten Beweises, daß die Funktion f auf dem Intervall [a; b] beschränkt ist. Wenn f beschränkt ist, dann gibt es eine Zahl M, so daß gilt M kleiner gleich |f(x)| für alle x element [a; b].

Wir nehmen jetzt an, f ist nicht beschränkt, dann gibt es für alle natürlichen Zahlen n ein xn [a; b], so daß gilt |f(xn)| > n. Da es unendlich viele xn in [a; b] gibt, hat die Folge (xn) n N einen Häufungspunkt C in [a; b]. Wir haben |f(xn) - f(C)| groesser gleich |f(xn)| - |f(C)| > n - |f(C)|.

Da C eine Konstante ist, ist auch f(C) eine Konstante und da n gegen unendlich strebt, kann |f(xn) - f(C)| beliebig groß sein!

Für alle > 0 gibt es ein > 0, so daß für alle |xn - C| < gilt: |f(xn) - f(C)| < (Definition der Stetigkeit). Demnach kann |f(xn) - f(C)| beliebig klein sein, da C ein Häufungspunkt der Folge (xn) ist. Das steht im Widerspruch dazu, daß |f(xn) - f(C)| beliebig groß sein kann. Also ist die Annahme, daß f nicht beschränkt ist falsch. Daraus folgt, daß f beschränkt sein muß.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 17:01:09    Titel:

Wo hast Du den Scheiß her?
tog_gi
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Anmeldungsdatum: 28.08.2005
Beiträge: 997
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 17:06:26    Titel:

ist das muell?

http://66.102.9.104/search?q=cache:Q8QHqKUAOC8J:home.nwn.de/doering/math/lk1/extrem/extrem.htm+extremwertsatz&hl=de

da hab ich es her.

Aber wie soll ich es denn dann beweisen?
Wieso muss man alles beweisen!?
T.T *verzweifelt*
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 17:12:53    Titel:

Kein Müll. Ist halt kein schöner Beweis.
tog_gi
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Anmeldungsdatum: 28.08.2005
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 17:14:27    Titel:

kennst du einen schoeneren?

XD eigentlich ist es mir egal wie schoen ein beweis ist.. hauptsache ich hab einen.. nur versteh ich den leider gaaarr nicht...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 17:23:56    Titel:

Einen Beweis, von dem ich glaube, dass er gut ist hast Du ja schon von mir bekommen:

Code:

Beweis per Hand (für Maximum) : Sei
 
A = sup { f(x) | x in [a,b]} in lR u {infty}.
 
Dann existiert eine Folge x_n in [a,b] mit lim_{n -> infty} f(x_n) = A. (Folgerung aus Stetigkeit). Da die Folge x_n beschränkt ist, besitzt diese nach Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge x_{phi(k)} mit
 
lim_{k->infty} x_{\phi(k)} = p.
 
Aus der Stetigkeit von f folgt
 
lim_{k->infty} x_{phi(k)} = A = f(p). Insbesondere gilt A in lR und p ist Maximum.


Der ist ja im Wesentlichen genau so, wie der andere. Vielleicht kannst Du eine Mischung aus beiden zusammenwürfeln.

P.S. Der geilste ist aber immer noch der topologische "einzeiler". Ich kann mich nicht davon abhalten, den zu posten, weil er so kurz ist Smile

Code:

Topologischer Beweis: [a,b] ist kompakt, lR ist Hausdorrfsch. Bild eines kompakten Raumes unter stetiger Abbildung f in einen Hausdorff-Raum ist wieder Kompakt. D.h. f([a,b]) ist wieder kompakt, also beschränkt und abgeschlossen. D.h. der kleinste Randpunkt ist Minimum und der größte Maximum.
tog_gi
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Anmeldungsdatum: 28.08.2005
Beiträge: 997
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BeitragVerfasst am: 11 Sep 2005 - 17:34:43    Titel:

wenn ich mit deinem beweis komme xD
heisst das
was ich denn ein tropologischer beweis??

und meine antwort waere dann..
gute frage naechste frage
i hab keinen checka~

ich glaub der lehrer will schon, dass ich es mit sachen beweise die wir schon im unterricht durchgenommen hatten.

Ich will ja die beschraenktheit beweisen Wink
nicht mini und maxi~
aber muss ich auch noch machen. thnx~ also
hihi
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