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Linearkombination mit Gaußscher Lösung
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silkesommer
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Anmeldungsdatum: 13.09.2005
Beiträge: 171

BeitragVerfasst am: 13 Sep 2005 - 09:32:42    Titel: Linearkombination mit Gaußscher Lösung

Hallo Zusammen, erst einmal möchte ich sagen, dass dies ein tolles Forum ist. Ich lese mir desöfteren eure Antworten durch und konnte einiges in Mathe verwenden. Ein herzliches Danke schön, für eure Mühe.

So, nun zu meinem Problem.

Ich bin in der 13. Klasse und wir nehmen in diesem Jahr Linearkombinationen mit Gaußer Lösung durch.

x= ra+sb+tc ist mir bekannt. Jedoch habe ich einige Probleme dies dann mit der Gaußschen Lösung durchzurechnen.

Bsp:

(1) 2r-4s+5t=3
(2) 3r+3s+7t=13
(3) 4r-2s-3t=-1

Sad
Im nächsten Schritt fallen dann die Buchstaben weg. So und nun fangen meine Probleme an. Was ist der Sinn der Gaußschen Lösung. Es soll am Ende ja eine Zahl für einen Buchstaben herauskommen, den ich dann in die LK einsetze. Nur der Zwischenschritt ist mir nicht so geläufig.

Ich freue mich schon auf eure Antworten. Viele Grüße Silke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 14 Sep 2005 - 14:09:23    Titel:

Der "Sinn" desGauss-Jordan-Algorithmus (und das wird wohl das sein, was Du meinst) ist die Entkoppelung der Variablen in einem Gleichungssystem. Das Ziel ist es eine Menge von "frei wählbaren" Variablen zu errechnen, von denen die Werte der restlichen Variablen abhängen. So ist z.B. in

x + z = 0
y + z = 0

die Variable z frei wählbar, sodass für jedes z die Zahlen z, y = -z und x = -z Lösungen des Systems sind.

Bei Gleichungssystemen sind Zeilenvertauschungen und Spaltenvertauschungen (außer der rechts von = Spalte) Äquivalenzumformungen bezüglich des Lösungsraumes. Aber auch Additionen von Zeilen und Spalten zueinander und Multiplikation von Zeilen mit einem Wert <> 0 sind solche.

Das Zeil des GJA ist es von einem (nicht 0) Koeffizienten a der Variablen v in Zeile i ausgehend alle Vorkommen der Variablen v außer in der ausgewählten Zeile i zu eliminieren. Das erfolgt Durch die Addition zur Zeile j, in der die Variable v mit dem Koeffizienten b steht, des -1/a*b -Fachen der Zeile i. Es ergibt sich dann in der neuen Zeile j speziell für v

b v + -1/a*b * a v = b v - bv = 0.

Man fängt üblicherweise mit dem ersten Koeffizienten der ersten Variablen und arbeitet sich nach unten durch.

In Wiki steht das Verfahren!
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