Äquivalenzrelation

Thomas Kirchmaier · Newbie Anmeldungsdatum: 22.09.2005 Beiträge: 10

Hallo,
kann mir jemand helfen?

Sei M eine Menge. Eine Teilmenge R (MxM) heißt Ordnungsrelation auf M, wenn für alle x,y,z Element M folgende Eigenschaften gelten:

1.Reflexifität: ( x,x ) Element R
2.Antisymmetrie: Wenn (x,y) Element R und (y,x) Element R, so folgt x=y.
3.Transitifität: Wenn (x,y) Element R und (y,z) Element R, so folgt (x,z) Element R.

Sei A eine Menge, und sei R Teilmenge von P(A)xP(A) definiert durch: (X,Y) Element R, genau dann, wenn X Teilmenge von Y. Dabei sind X und Y Teilmengen von A.

Aufgaben:

1. Beweisen oder widerlegen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation auf P(A).
Ich weiß zwar was eine Äquivalenzrelation ist, und das ich Reflexifität, Transitifität und Symmetrie nachweisen muss, mir fehlt aber die Routine,
wie man dies anpackt, hat da jemand einen Tipp? Ist dies zu Beginn eines
Mathestudiums normal?

2. Beweisen oder widerlegen Sie: R ist eine Ordnungsrelation auf P(A).
Selbe Problematik wie bei 1 oben.

3. Geben Sie ein Beispiel für eine Menge M und eine Teilmenge R mit MxM die sowohl eine Äquivalenzrelation als auch eine Ordnungsrelation auf M ist, mit Begründung.

Danke
Thomas

yushoor · Senior Member Anmeldungsdatum: 05.07.2005 Beiträge: 517

ja das is normal. nicht aufgeben und üben, dann lernt man das Smile

reflexivität:
sei x element P(A) beliebig. x ist teilmenge von x (das ist immer so).
also ist (x,x) element R => fertig.

symmetrie:
seien (x,y) und (y,x) element R.
=> (nach definition von R) x ist teilmenge von y und y ist teilmenge von x.
=> x=y

transitivität geht ganz genauso, probiers selbst! einfach voraussetzung hinschreiben, definition benutzen und damit voraussetzung umschreiben. dann überlegst du, was du brauchst und arbeitest dahin Smile

sind 2-4 zeilen Smile