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e-Funtion und Punkte
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igel64
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Anmeldungsdatum: 25.09.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2005 - 17:16:08    Titel: e-Funtion und Punkte

Hallo,

ich komme mit einem Teil der Aufgabe nicht klar:

Gegeben ist die Funtion f(x)= 10(e^x - e^2x) x€R

a) Nullstellen, Monotonie usw. - erledigt
b) zeichnen, erledigt
c) Es existiert ein Punkt R des Grafen im Intervall -1 < x < 0, der vom Koordinaten ursprung einen maximalen Abstand hat. Zeigen Sie mit Hilfe eines Beispiels, daß dieser Punkt nicht der lokale Extrempunkt von G ist!

Teil c bekomme ich nicht hin. Grundgedanke ist das Aufstellen einer Gleichung für die Entfernung des Punktes auf der Kurve, wobei diese Gerade die Hypotunuse eines Dreiecks ist. Wenn man die Gleichung hat muß die erste Ableitung gemacht werden und x ausrechnen. Aber ich bekomme unmögliche Ergebnisse. Liege ich mit dem Lösungsansatz falsch? Confused

mfg
Igel
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2005 - 17:42:13    Titel: Re: e-Funtion und Punkte

igel64 hat folgendes geschrieben:
c) Es existiert ein Punkt R des Grafen im Intervall -1 < x < 0, der vom Koordinaten ursprung einen maximalen Abstand hat. Zeigen Sie mit Hilfe eines Beispiels, daß dieser Punkt nicht der lokale Extrempunkt von G ist!

Teil c bekomme ich nicht hin. Grundgedanke ist das Aufstellen einer Gleichung für die Entfernung des Punktes auf der Kurve, wobei diese Gerade die Hypotunuse eines Dreiecks ist. Wenn man die Gleichung hat muß die erste Ableitung gemacht werden und x ausrechnen. Aber ich bekomme unmögliche Ergebnisse. Liege ich mit dem Lösungsansatz falsch? Confused

Den Abstand zwischen Ursprung (0,0) und dem Extrempunkt kannst du einfach mit Pythagoras berechnen - die x Position des Punktes ist die eine Länge des Dreiecks, die y Position die andere. sqrt(x²+y²) = Länge der Linie, die zwischen Punkt und Ursprung liegt.
Um nun zu zeigen, dass das nicht der Punkt mit maximalem Abstand ist, suchst du einfach einen zweiten Punkt, der auf der Kurve ist, rechnest für den den Abstand wieder genauso aus - fertig q.e.d.
igel64
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Anmeldungsdatum: 25.09.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2005 - 17:58:54    Titel:

genau das habe ich ja probiert. Ich muß aber erst einmal das Maximum finden.

Daß das nicht der Punkt ist (Hochpunkt) ist ja leicht - nur einsetzen. Aber wie mache ich die genaue Gleichung für die Berechnung des Maximums ( der Länge der Hypotunuse)?
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2005 - 18:02:40    Titel:

igel64 hat folgendes geschrieben:
genau das habe ich ja probiert. Ich muß aber erst einmal das Maximum finden.

Daß das nicht der Punkt ist (Hochpunkt) ist ja leicht - nur einsetzen. Aber wie mache ich die genaue Gleichung für die Berechnung des Maximums ( der Länge der Hypotunuse)?

Kannst du nicht in deiner Zeichnung nicht einfach einen Punkt sehen, der garantiert weiter entfernt ist, als der Extrempunkt, dieses x in die Gleichung einsetzen, das genaue y erhalten - schon hast du einen Punkt, der garantiert weiter entfernt ist, als der lokale Extrempunkt.
Du musst ja nicht den Punkt angeben, der das Maximum darstellt, sondern nur zeigen, dass dieser Punkt nicht der Extrempunkt ist - und das geschieht dadurch, dass man zeigt, dass ein beliebiger anderer Punkt weiter entfernt ist, als der Extrempunkt.
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2005 - 18:08:52    Titel:

Falls du es wirklich ausrechnen willst (was aber nicht benötigt wird), würde ich sagen, dass du f(x) = sqrt(x² + (10(e^x - e^2x))²) maximierst (innerhalb des Intervals).
igel64
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Anmeldungsdatum: 25.09.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2005 - 20:44:29    Titel:

genau das habe ich schon probiert - es ist doch so, daß ich von der Funktion die erste Ableitung machen muß und diese dann Null setzen muß - oder?

Dazu kommt - wie beziehe ich die Interwallgrenzen mit in die Funktion ein. Denn wenn ich die Grenze in den neg. Bereich überschreite wird natürlich die Punktgerade immer länger und ein Maximum ist nicht mehr zu berechnen.
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