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Aufgaben LA1
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Alng
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Anmeldungsdatum: 23.09.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 26 Sep 2005 - 10:07:53    Titel: Aufgaben LA1

Hallo Leute, habe diverse Probleme bei folgenden Aufgaben:

1) Sei n eine natürliche Zahl. Für eine Permutation τ in Sn sei fτ : Sn --> Sn definiert durch fτ(σ) = τ o σ, für alle σ Element Sn.
Beweisen Sie, dass M = {fτ / τ Element Sn } mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet.

2) Sei R = { a/b Element Q \ a,b Element Z und b ist ungerade }
Beweisen Sie, dass ( R, +, * ) ein kommutativer Ring ist. Hierbei bezeichnen + und * die Addition und Multiplikation in Q. Untersuchen Sie, ob ( R, +, * ) ein Körper ist.

3) Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in ( Z/pZ)* und in
( Z/p^2Z )*.

4) a) Berechnen Sie a*a für alle Elemente in a Element F5 und alle Elemente a Element
F7. Überzeugen Sie sich davon, dass a*a=a nur für a = 0 und a = 1 möglich ist.
b) Sei K ein Körper, und sei a Element K mit a*a=a. Beweisen Sie, dass a = 0 oder a = 1 ist.

Vielen Dank
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 Sep 2005 - 12:59:25    Titel:

1) Sind nur Axiome zu prüfen

2) Auch Axiome bzw. Invertierbarkeit

3) p^(2Z) oder (p^2)Z? Wenn das erste, dann mußt Du erklären, was es bedeutet.

4) a) Rechnen b) Die einzige interessante Aufgabe hier. Überlege Dir für a <> 0, was ist a * 1.


Suche Dir eine aus. Die rechne ich Dir vor.
Alng
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Anmeldungsdatum: 23.09.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 26 Sep 2005 - 13:03:25    Titel:

OK,
zu 3. es gilt die zweite Variante

dann bitte die Nr. 4

Danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 Sep 2005 - 13:19:29    Titel:

Bei a) gilt in F_5 : 0*0 = 0, 1*1 = 1, 2*2 = 4, 3*3 = 9 mod 5 = 4, 4*4 = 16 mod 5 = 1. in F_7 : 0*0 = 0, 1*1 = 1, 2*2 = 4, 3*3 = 9 mod 7 = 2, 4*4 = 16 mod 7 = 2, 5*5 = 25 mod 7 = 1, 6*6 = 36 mod 7 = 1. Also gilt die Behauptung.

Zur b). Falls a = 0, so gilt natürlich a*a = 0*0 = 0. Sei a ungleich 0. Dann gilt a = a*1 = a * (a*a^(-1)) = (a*a) * a^(-1) = a * a^(-1) = 1. qed
Alng
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Anmeldungsdatum: 23.09.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2005 - 10:29:23    Titel:

Danke für die Lösung zur Aufgabe 4. Was bei den Aufgaben 1-3 zu tun ist, weiß ich rein von der Theorie her schon, ich hab nur keinen blassen schimmer, wie ich das angehen soll. Bitte deshalb um Hilfe.
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