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Gleichung einer Ganzrationalen Funktion
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katrinschchen
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Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 13:41:08    Titel: Gleichung einer Ganzrationalen Funktion

Hallo Zusammen,

habe da 3 Aufgaben, mit denen ich nicht so ganz klar komme,....

1. n = 3, x = 4 einfach, sonst keine Nullstellen
2. n = 3, x1 = -2, x2 = 3 und x3 = -3, P(1/12)
3. n = 3, x1 = 1 einfach und x2 = 2 doppelt, P (-1/-6)

für jede der 3 Aufgaben soll die Gleichung erstellt werden.

Mein Ansatz:

n=3 bedeutet Funktion 3ten Grades --> ax³+bx²+cx+d

und weiter komm ich nicht.

Wäre euch echt hilfreich für eure Lösungswege. Danke schon mal...
aldebaran
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:00:41    Titel:

Hi Katrinchen,

musste hier nochmals nachbessern:

du kannst wie matthias20 beschreibt vorgehen, möglich wäre auch gewesen:
Satz von Vieta!

y= k*(x-x_1)*(x-x_2)(x-x_3) mit dem Punkt P(x|y) und den Nullstellen eingesetzt kannst k bestimmen!


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 03 Okt 2005 - 15:35:35, insgesamt einmal bearbeitet
katrinschchen
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Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:04:32    Titel:

Hi,

ja die Angaben habe ichh 1zu1 so aus meinem Buch übernommen....
Carmenmaus
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Anmeldungsdatum: 21.05.2005
Beiträge: 217

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:12:45    Titel:

Für die 2.Aufgabe braucht man die 4Bedingungen,da es 4 Unbekannte gibt:a,b,c,d. Die 3 Nullstellen reichen nicht, man braucht auch den Punkt P.
katrinschchen
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Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:14:47    Titel:

ok. das klingt schon logisch.
Aber wie fange ich denn grundsätzlich an?
Ich habe meine Gleichung ax³+bx²+cx+d

so und wie bringe ich denn nun mein 4 Punkte in diese Gleichung
bzw. welche Zahlen darf ich wofür einsetzten?
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:25:03    Titel:

Moin,

ok, also hier mal die Vorgehensweise am Bsp. von Aufgabe 2:

allg. Setup = f(x) = ax³+bx²+cx+d

1. f(-2) = 0; -8a + 4b - 2c + d = 0
2. f(3) = 0; 27a + 9b + 3c + d = 0
3. f(-3) = 0; -27a + 9b - 3c + d = 0
4. f(1) = 12; a + b + c + d = 12

Diese vier Bedingungen dann in den GTR eintragen und ausrechnen lassen. Ergebnis ist dann a = -0,5; b = -1; c = 4,5; d = 9
Dann schreibst die Funktion noch mal hin (f(x) = -0,5x³ -1x² +4,5x +9d) und fertig.

Bei der dritten Aufgabe hast Du auch vier Bedingungen:

1. f(1) = 0
2. f(2) = 0
3. f'(2) = 0
4. f(-1) = -6

Die dritte Bedingung resultiert aus Deiner doppelten NST, sprich hier berührt die Funktion die x-Achse nur, somit hat sie in x = 2 eine waagrechte Tangente (die X-Achse ist diese Tangente) mit der Steigung 0.

Bei der ersten Aufgabe fehlen noch Angaben denke ich.

Hoffe das hilft Dir.

Gruß:


Matthias
katrinschchen
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Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:34:51    Titel:

Super!! Danke schon mal...

Das Grundprinzip habe ich verstanden...
Ich stelle für jeden Punkt eine eigene Gleichung nten Grades auf.

Wie komme ich denn dann auf die einzelnen Unbekannten?

Was meinst du mit GTR?


Zu Aufgabe 1: in meinem Buch habe ich dazu keine weiteren Angaben es steht jedoch in Klammer, das mehrere Lösungsmöglichkeiten richtig sind.
vito
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 69
Wohnort: Bern

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2005 - 15:41:45    Titel:

katrinschchen hat folgendes geschrieben:

Was meinst du mit GTR?


GTR = den Grafikfähigen Taschenrechner CFX-9850GB von Casio
Matthias20
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2005 - 07:50:15    Titel:

Moin moin,

auf die einzelnen Lösungen würdest Du kommen, wenn Du schon bei einer Bedingung das "e" bestimmen könntest (f(0) = 1 z.B.). Alles weitere geht mit den Gesetzen der Gleichungssysteme - Einsetzungs-, Additions-, Gleichsetzungsverfahren). Das was Du mit dem GTR machst, kannst Du auch über das Gauss-Verfahren (eine Matrix) lösen.

Gruß:



Matthias
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2005 - 08:07:04    Titel:

meiner meinung nach ist der weg ueber nullstellendarstellung viel einfacher:

2. P(x) = a(x+2)(x-3)(x+3)

=>P(1) = -24a => a=-1/2

3. P(x) = a(x-1)(x-2)^2

=>P(-1) = 18a => a=-1/3

zu 1. x^3+x hat einfache und einzige nst. bei x=0, verschiebe diese auf die 4:

(x-4)^3+(x-4)

wenn man moechte, kann man alles noch ausmultiplizieren Wink
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