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A={f:R->R I f(x) = ax+b, a ungleich 0} mit ° Gruppe?
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archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2005 - 15:18:52    Titel: A={f:R->R I f(x) = ax+b, a ungleich 0} mit ° Gruppe?

hey, ja ich weiß, habe genau das selbe schon einmal gepostet, versteh es aber noch nicht...

ich muss ja g1, g2, g3 nachweisen damit es eine gruppe ist...

meine aufgabe ist zu beweisen, dass es sich bei A = {f: R -> R I f(x) = ax + b, a ungleich 0} mit ° (komposition zweier abbildungen aus A) um eine Gruppe handelt.....

wäre lieb wenn sich doch nochmal wer mühe gibt es mir ein wenig zu erklären, damit ich trotz krankhit heut noch ein wenig Mathe hin bekommen Evil or Very Mad
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2005 - 16:23:23    Titel:

1. neutrales el. ist f(x)=x, denn g(x)o f(x)=g(f(x))=g(x) (bzw. umgekehrt)

2. inverses el.: (ax+b)o(cx=d)=a(cx+d)+b=x

=>acx+ad+b=x

=>ac=1 und ad=-b =>c=1/a und d=-b/a

=>inverses zu ax+b ist (1/a)x-b/a

3. assoziativitaet von "o" weist man in den ersten wochen von LA1 nach, kann man also voraussetzen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2005 - 16:23:36    Titel:

Ich fühle mich da ein wenig angesprochen, weil dieser Thread vermutlich das Ergebnis schlechter Erklärungen von mir ist. Daher schreibe ich einen Beweis hier rein. Es sollte aber die anderen nicht davon abhalten, einen besseren oder klareren hier zu posten.

Behauptung: A = {f: R -> R I f(x) = ax + b, a ungleich 0} mit der der Funktionenkomposition o als Verknüpfung bildet eine Gruppe.

Beweis: Zu zeigen ist (i) Abgeschlossenheit, (ii) Assoziativität, (iii) Existenz eines neutralen und (iv) eines Inversen Elements.

(i) Seien f(x) = ax + b und g(x) = cx + d mit a,c <> 0. Dann gilt (fog)(x) = a g(x) + b = a(cx+d)+b = ac x + ad + b. Da a,c <> 0 ist auch ac <> 0. Also liegt (fog) wieder in A.

(ii) Seien f(x) = ax + b, g(x) = cx + d und h(x) = ux+v. Dann gilt (f o (goh))(x) = f(g(h(x))) = a(c(ux+v)+d)+b = a(cux + cv + d) + b = acux + acv + ad + b. Andererseits gilt ((fog) o h)(x) = ac(ux+v) + ad + b = acux + acv + ad + b. Also ist f o (goh) = (fog)oh.

(iii) Sei f(x) = x. Dann ist f(x) neutral bezüglich o. Sei also g(x) = ax+b. Dann gilt (f o g)(x) = (g o f)(x) = ax + b.

(iv) Sei f(x) = ax + b mit a <> 0. Wähle dann g(x) = 1/a x - b/a. Dann gilt (fog)(x) = a 1/a x+ a(-b/a) + b = x. Also fog gleich dem neutralen Element.

Und somit ist die Sache gegessen. qed
archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2005 - 17:54:36    Titel:

danke danke, dann werd ich mich mal hinsetzen und es verstehen und nachvollziehen....soweit es klappt....gebe mir trotz krankheit aber mühe Twisted Evil

ihr seid die besten Cool
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