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Surjektivität und Stetigkeit
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Ingo314
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Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 522

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2005 - 22:47:35    Titel: Surjektivität und Stetigkeit

folgt aus einer surjektivität zwangsläufig stetigkeit und umgekehert?

Liebe grüße euer ingo
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2005 - 22:57:29    Titel:

nein, z.b. f:IR->{0,1}, f(x)=0 fuer x<0, f(x)=1 sonst ist surjektiv aber nicht stetig ({0,1} mit der von IR vererbten Topologie).

oder: vertausche einfach zwei (verschiedene!) funktionswerte einer stetigen surjektiven funktion (-> bleibt surjektiv).
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2005 - 23:59:39    Titel:

Ich würde bei dem Beispiel oben auch noch für lR eine andere Topologie wählen. Damit es übersichtlich bleibt. Am besten eine, die man nicht geschlossen darstellen kann Smile
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 02:39:27    Titel:

was fuer eine andere topologie meinst du? was heisst "eine topologie geschlossen darstellen"? wichtig ist doch eigentlich nur, dass jede offene umgebung der 0 auch negative zahlen enthaelt?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 10:26:55    Titel:

Zitat:
was fuer eine andere topologie meinst du? was heisst "eine topologie geschlossen darstellen"?


Du erklärst gerade einem Schüler den Unterschied zwischen Stetigkeit und Surjektivität. Und wählst ein Beispiel mit einer nicht üblichen Topologie. Glaubst Du, er versteht das? Ich habe ca. ne halbe Minute gebraucht um zu überprüfen, ob das Beispiel überhaupt ok ist.

Man braucht doch keine Spurtopologien usw.

Stetig aber nicht surjektiv: f : lR -> lR mit f(x)=0. Surjektiv aber nicht stetig: f : lR -> lR mit f(x) = x für x nicht in {0,1} und f(0) = 1 und f(1) = 0. (So wie Du oben gesagt hast).

"Nicht geschlossen darstellbar" (im Wesentlichen "transzendent") ist etwas, was man nur durch Existenzeigenschaften charakterisieren kann. Also nicht algebraisch (in dem Fall durch Mengenoperationen). Z.B. pi ist in lR nicht geschlossen darstellbar, daher das Symbol.
Ingo314
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Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 522

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 14:29:57    Titel:

danke für eure antworten, algebrafreak das passt schon, ich habs verstanden.

liebe grüße euer ingo
Delta Joe
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Anmeldungsdatum: 04.10.2005
Beiträge: 90
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 23:31:58    Titel:

hallo algebrafreak, ich habe ueberall die gewoehnlich topologie verwendet, die man als schueler intuitiv benutzen wuerde und deren stetigkeits begriff dem der delta-epsilon umgebungen entspricht.

im ersten bsp. hab ich die meiner meinung nach einfachste nicht-stetige fkt. gewaehlt und den bildbereich so verkleinert, dass sie surjektiv ist. was sollte daran nicht ok sein?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 23:55:28    Titel:

Zitat:
was sollte daran nicht ok sein?


Das Beispiel ist für Schüler meiner Meinung nach zu schwer. Du hättest auch sowas, wie die diskrete Topologie auf {0,1} als Bildraum nehmen können und triviale auf {0,1} als Urbildraum und als Funktion die Identität. Dann ist das Urbild {0} von offener Menge {0} nicht offen. Das mit delte-epsilon-Kriterium ist natürlich ein Argument, aber wer nutzt in der Schile schon das.

Eigentlich war das als Witz gemeint.
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