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Vollständige Induktion
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muckelmann1
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Anmeldungsdatum: 10.10.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Holzwickede

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 14:22:54    Titel: Vollständige Induktion

Hallo,
kann mir evtl. jemand weiterhelfen?!
Muss folgende Formel durch vollständige Induktion beweisen:

Produkt k=2 bis n mit (1+1/(k^2-1)) = 2n/(n+1), mit n >=2

Den Induktionsanfang für n=2 habe ich noch reibungslos hin bekommen (kam auf beiden Seiten 4/3 raus), aber der Induktionsschritt scheitert bei mir irgendwie, vielleicht traue ich mich auch nur nicht, bis zum Ende zu rechnen, weil ich mich auf dem Holzweg fühle?!

Danke für eure Antworten...Ralph!!! Question
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 15:45:13    Titel:

Induktionsschritt: n->n+1:

P [k=2 bis n+1] = P [k=2 bis n] * [n+1]

= 2n/n+1 * (1+1/( (n+1)² - 1)

= 2n/n+1 * (1+1/(n+1+1)(n+1-1))

= 2n/n+1 * (1+1/n(n+2))

= 2n/n+1 * (n(n+2)/n(n+2) + 1/n(n+2))

= 2n/n+1 * ( (n²+2n+1)/(n(n+2)) )

= 2n/n+1 * ( (n+1)²/(n(n+2)) )

= 2n/n+1 * ( (n+1)²/(n(n+2)) )

= 2n*(n+1)(n+1) / (n+1)(n+2)n

= 2(n+1) / (n+2) bewiesen.
muckelmann1
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Anmeldungsdatum: 10.10.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Holzwickede

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 16:09:54    Titel:

Bin beeindruckt....besten Dank, vielleicht komme ich ja auch mal da hin?!

Evtl. kannst "du" mir ja auch bei meinem noch übrig gebliebenen Verständnisproblem helfen, wo ich auch nach dem Induktionsanfang hängen geblieben bin?!

Summe k=1 bis n mit 1/(k^2) <= 2-1/n

Wie gesagt, beim Induktionsschritt versagt mir der Mut Sad

Habe folgendes gemacht:

n-> n+1:

Is = n+1 -> S k=1 bis n+1 mit 1/(k^2) <= 2-1/(n+1)

S k=1 bis n+1 mit 1/(k^2)

= S k=1 bis n mit 1/(k^2) + 1/((n+1)^2)

= 2-1/n + 1/((n+1)^2)

= (2n(n+1)^2-(n+1)^2+n)/(n(n+1)^2)

Danke schon mal......Gruß Ralph
Exclamation
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 16:29:47    Titel:

P[...]*[n+1]

<= (2-1/n)(1/(n+1)²)

= ( (2n-1)/n) * (1/(n+1)² )

= (2n-1)/(n(n+1)²)

<= (2n+1)/(n(n+1)²)

<= (2n+1)/(n+1)

= 2(n+1)-1 / n+1

= 2 - 1/(n+1) fertig.

manchmal ist es sinnvoll und leichter, auch vom Ende zu rechnen, also von beiden Seiten. Dies macht eine Ungleichung zu beweisen viel einfacher, dnn dann siehste irgendwann den Unterschied und weiss, was du weglassen kannst. Smile
muckelmann1
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Anmeldungsdatum: 10.10.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Holzwickede

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 16:34:32    Titel:

Ich bedanke mich mal richtig hier und ziehe den Hut!

Der Wink mit dem Rechnen "von hinten" hat mir hoffentlich die Augen geöffnet, aber das wird noch die Zukunft zeigen!

Die besten Grüße....Ralph!
muckelmann1
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Anmeldungsdatum: 10.10.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Holzwickede

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 17:25:25    Titel:

Verstehe einen Schritt von dir nicht?!

P[...]*[n+1]

<= (2-1/n)(1/(n+1)²)

= ( (2n-1)/n) * (1/(n+1)² )

= (2n-1)/(n(n+1)²)

<= (2n+1)/(n(n+1)²) --->>> Warum ändert sich hier plötzlich das Vorzeichen von (2n-1) auf (2n+1)?

<= (2n+1)/(n+1)

= 2(n+1)-1 / n+1

= 2 - 1/(n+1) fertig.
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 17:28:07    Titel:

damit habe ich ja <= geschrieben, weil ich von 2n-1 auf 2n+1 geändert habe
muckelmann1
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Anmeldungsdatum: 10.10.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Holzwickede

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 17:28:12    Titel:

Verstehe auch diesen Schritt von dir nicht?!

P[...]*[n+1]

<= (2-1/n)(1/(n+1)²)

= ( (2n-1)/n) * (1/(n+1)² )

= (2n-1)/(n(n+1)²)

<= (2n+1)/(n(n+1)²)

<= (2n+1)/(n+1) --->>> Wo ist der Rest des Nenners?

= 2(n+1)-1 / n+1

= 2 - 1/(n+1) fertig.
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 10 Okt 2005 - 17:30:38    Titel:

was ist grosser 1 oder 1/(n(n+1)) ?

sieh genau hin, ob ich = oder <= schreibe
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