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Vollständige Induktion
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Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2005 - 19:59:56    Titel: Vollständige Induktion

Übungsaufgaben bekommen und ich hab echt keinen Plan wie ich weiter kommen soll. Ich kenne mich überhaupt mich mit Induktionen aus, und der Wikipediaeintrag hilft mir nicht wirklich.

1) Beweisen sie dass: x² +y²= z^n für alle x,y,z € N unendlich viele Lösungen besitzt.

2) Und ganz fies: A(n) = 11^(n+2) + 12 ^(2n+1) für jede beliebige Zahl n durch 133 teilbar ist.

Als Hinweis gabs noch: zeigen sie durch Induktion zunächst: A(n+1) = 11*A(n) +133* 12^(2n+1)

In der Schule hatten wir den Mist nie und die Bücher, die ich mir angeguckt habe, helfen mir nicht, offenbar bin ich zu blöd dafür Rolling Eyes

Ich wär desewegen für jeden Ansatz bei 1) dankbar und bei 2) hätte ich zumindest gern gewusst, wie ich auf den "Hinweis" komme.

Ich muss doch zunächst für n = 1, dann für n = k und zuletzt für n=k+1 den Sachverhalt nachweisen, oder?

Vielen dank für alle Antworten Razz
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2005 - 20:17:45    Titel:

Die 2) ist in diesem Forum schon mal gelöst worden. Musst nur suchen. Die 1) stimmt so nicht, denn für x=1,y=1 und z=2. kommt raus

1^2+1^2 = 2^n <-> 2 = 2^n.

Diese Gleichung ist nur für n = 1 erfüllt. Also endlich Lösungen. Dass soll wohl so eine Abschwächung von Sätzen von Fermat sein, aber da hast Du Dich wohl vertippt
Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2005 - 20:20:32    Titel:

Wusste ich doch, dass ich mich auf den Algebrafreak verlassen kann^^ .
Vielen dank erstmal, ich guck mal ob ich mich irgendwie durchwurstle. -Was nicht heißt, dass ich für weitere Tips nicht offen bin Very Happy

Edit: Ich glaub ich hab mich geirrt: bei x²+y²= z^n soll für jede Zahl n€ N unendlich viele Lösungen existieren
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2005 - 20:25:26    Titel:

@algebrafreak:

Gemeint sein wird wohl, das es für festes n unendlich viele Lösungen
x,y und z gibt.

Jockel
Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2005 - 20:41:58    Titel:

Jo, genau das hab ich gemeint Embarassed , aber für Tips bei 2) wär ich dankbar, da der Link in dem alten Tread nicht mehr funktioniert.
Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2005 - 17:05:40    Titel:

So, ich hab noch mal ne Nacht drüber geschlafen und denke, dass ich zumindest bei 1) einen Ansatz hab: x²+y²z^1 is ja trivial, dann muss ich doch von x²+y²=z^n auf das nächste Glied kommen, also: z(x²+y²)=z * z^n

Wenn ich das umformuliere, erhalte ich zx² + zy² = z^(n+1).

Geht das so? Hab ich damit überhaupt was bewiesen? Very Happy
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2005 - 18:50:00    Titel:

Ich habe zwar nicht lange nachgedacht, aber 1) scheint eine echte Sauerei zu sein. Ich finde so auf Anhieb keine Lösung. Für n = 2 sind das die pythagoräischen Tripel, die eine unendliche Lösungsmenge liefern. Für den allgemeinen Beweis muss, wie Du gemerkt hast, eine zusätzliche Bedingung gelten, damit etwas von der Form

(x/sqrt(z))^2 + (y/sqrt(z))^2 = z^n

auf Induktionsannahme zurückgeführt (durch Ersetzen etwa mit a = x/sqrt(z), und b = y/sqrt(z)) werden kann. Dummerweise kann man über Lösungen von x^2+y^2 = z^n strukturell nicht sagen, ob unendlich viele Elemente in der Form (x/sqrt(z),y/sqrt(z),z) darin vorkommen.

Leider kann ich nicht mehr als Parr Minuten mich damit befassen. Ich wäre aber an der Lösung auch interessiert, wenn das einer kann bzw. genug Zeit hat.
Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2005 - 19:57:31    Titel:

Also, wiederum etwas nachgedacht und es miz einer paralellen nduktion probiert:


x² + y² = z für n = 1 -> is ja klar
x² + y² = z² für n = 2 -> ebenfalls unendiche Lösungen
um n+2 zu erhalten: z²(x²+y²)= z^n * z²
->z²(x²+y²)= z^(n+2)
Damit wäre es doch für alle geraden und ungerade Zahlen bewiesen, oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2005 - 20:17:03    Titel:

Also ich sehe da keinen Beweis, in dem was da steht.
Candesco
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 13:59:52    Titel:

Hi zusammen...

Mich beschäftigen lustiger Weise genau die gleichen Aufgaben! Jemand schon der Lösung etwas näher gekommen? Confused
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