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Vollständige Induktion
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Homi
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 14:11:05    Titel: .

Analysis 1, Uni Leipzig?? *g

hab gerade angefangen, leider die Übung verpasst, naja mal sehen ob wir das hinbekommen..... Rolling Eyes
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 14:13:40    Titel:

Bist Du sicher, dass die Aussage überhaupt stimmt? Wenn ich Zeit hätte würde ich folgendes machen: Lass doch einen Rechner die Lösungen rausspucken und untersuche sie auf Gesetzmässigkeiten für n=3,4,.... Ich bin sicher mit steigendem n wird die Luft immer dünner.
Candesco
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 14:22:00    Titel:

@ Homi... Jupp!

@ Algebrafreak... Hier nochmal die genaue Aufgabenstellung:

Bew. Sie durch vollst. Induktion, dass die Gleichung x² + y² = z^n für jede fest gewählte natürliche Zahn n unendlich viele Lösungen x,y,z aus N hat.
Homi
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 15:14:42    Titel: .

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Die 2) ist in diesem Forum schon mal gelöst worden. Musst nur suchen.


Das war ne andere, hab sie gefunden.
Candesco
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 15:41:48    Titel:

Und Homi, schon was raus?
Hab mal darüber nachgedacht...
Goblin hat folgendes geschrieben:

x² + y² = z für n = 1 -> is ja klar
x² + y² = z² für n = 2 -> ebenfalls unendiche Lösungen
um n+2 zu erhalten: z²(x²+y²)= z^n * z²
->z²(x²+y²)= z^(n+2)
Damit wäre es doch für alle geraden und ungerade Zahlen bewiesen, oder?


Klingt aber irgendwie zu einfach... Wenn man das als IS so hinschreibt und als ergänzende Bemerkung hinzufügt, das x² und y² jeweils vielfache von z² sein müssen dann macht's doch sinn, oder? Mann hat jedenfalls für n+2 auch unendlich viele Lösungen? Bin ich da richtig? oder denkfehler?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 16:31:34    Titel:

Zitat:
algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Die 2) ist in diesem Forum schon mal gelöst worden. Musst nur suchen.

Das war ne andere, hab sie gefunden.


Sicher eine Andere?

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/7243,15.html

Ich werde mich für paar Minuten mal hinsetzen und versuche mal die 1) zu lösen. Ist doch interessanter, als Konvexe Hüllen und Satz von Ben-Or Sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 17:20:51    Titel:

Mal ein Lösungsvorschlag für die 1a)

Ich zeige eine verschärfte Aussage A(n) : Die Menge der Lösungen (x,y,z) mit x^2 + y^2 = z^n und z = (z')^2 ist bereits unendlich. Es gibt eine Folge von Lösungen, wobei die dritte Komponentenfolge isoton ist.

Beweis: Für n=2 ist (15,20,25) eine Lösung von x^2 + y^2 = z^2, denn 15^2 + 20^2 = 625 = 25^2. Offenbar ist 25 = 5^2. Dann ist aber die Folge ((x_n,y_n,z_n))_(n in lN) mit der Eigenschaft

(x_0,y_0,z_0) = (15,20,25) und
(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}) = (z_n x_n, z_n y_n, z_n^2)

eine (unendliche) Folge von Lösungen. Es reicht hierfür den Induktions-Schritt zu zeigen

(z_n x_n)^2 + (z_n y_n)^2 =
z_n^2 ( x_n^2 + y_n^2) = (I.A)
z_n^2 z_n^2 =
(z_n^2)^2.

Weiterhin ist z_n^2 eine Quadratzahl. Insgesamt hat man unendlich viele Lösungen des Systems x^2 + y^2 = z^2 mit z eine Quadratzahl. Offenbar wachsen die dritten Komponenten isoton an. Also ist der Basisfall gegessen.

I.A. A(n) gilt für ein festes n >= 2.

I.S. Betrachte A(n+1). Es gibt also nach I.A. eine Lösungfolge

L = ((x_n,y_n,z'_n^2))

für x^2 + y^2 = z^n. Ich zeige, wie man aus jeder Lösung von L eine von x^2 + y^2 = z^{n+1} konstuiert. Man wähle eine beliebige Lösung (x,y,z'^2). Zu ihr betrachte das Tupel (xz',yz',z'z'). Es gilt

(xz')^2 + (yz')^2 =
z'^2 (x^2 + y^2) = (I.A.)
z'^2 (z'^2)^n =
(z'^2)^{n+1}.

Also löst das gegebene Tupel x^2+y^2 = z^{n+1}. Noch zu zeigen ist, dass die Invariante erhalten bleibt. Aber das ist leicht denn z'^2 ist offensichtlich eine Quadratzahl. Die letzte Komponente hat sich nicht verändert und wächst bei gleicher Folgengliederzuordnung also isoton. Also sind alle konstuierten Lösungen verschieden. qed

So. Ich habe da jetzt meine Gedanken unsortiert auf einen Haufen geworfen. Ich hoffe, das sich da kein Fehler reingeschlichen hat. Aber die klugen werden den schon rausfischen, wenn der da ist. Viel Spaß Smile


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 15 Okt 2005 - 19:49:50, insgesamt 3-mal bearbeitet
Candesco
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 18:05:54    Titel:

thx dafür... Sieht gut aus Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2005 - 19:50:03    Titel:

Was ich vielleicht noch verschlampt habe ist, die Tatsache, dass die Konstruktionsvorschrift nicht schließlich alle Lösungen von n auf eine von n+1 abbildet. Ich habe den Beweis oben entsprechend nachgebessert.
Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 15:37:02    Titel:

Boah, für 1.Semester is das ein ganz schöner Happen Sad Crying or Very sad
Wenn ihr auch von der Uni-Leipzig seid und das verstanden habt, könnt ihr mir das bei 'nem Kaffe nochmal genau erklären Smile Wink
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