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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 15:55:48    Titel:

Was hier zählt ist die Idee. Aber ich habe gleich vermutet, dass es käsig wird. Die Idee ist: Du bildest eine Folge von Lösungen für n=2, sodass die letzte Komponente eine Quadratzahl ist

a_0 = (15,20,25)
a_1 = (25*15,25*20,25*25)
a_2 = (25*25*25*15,25*25*25*20,25^4)
...

usw. Da steigt die letzte Ziffer immer an. Daher sind die Elemente der Folge alle verschieden und alle Lösungen der Gleichung x^2+y^2=z^2. Und jetzt baust Du aus jedem a_k eine Lösung für x^2+y^2=z^n indem Du die ersten zwei Komponenten mit 5^n multiplizierst.

Poste mal die Lösung eurer Übungsleiter rein. Interessiert mich.
MGrey
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Anmeldungsdatum: 16.10.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 17:35:29    Titel:

Ist es aber nicht einfacher den Beweis rein praktisch durchzuführen, indem wir sehen, das für jedes feste n die Gleichung nur noch von x, y und z abhängig ist? Demnach gibt es denn unendlich viele Tripel (x, y, z) für die die Gleichung eine wahre Aussage wird.
Ich lasse mich da gern eines Besseren belehren, aber ich denke auch das nach zwei Vorlesungen und der ersten Übungsaufgabe noch nicht so ein umfangreicher Beweis gefordert wird, wenn man bedenkt das die anderen Aufgaben aus der Serie dann deutlich im Niveau abfallen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 17:44:13    Titel:

Zitat:
Ist es aber nicht einfacher den Beweis rein praktisch durchzuführen, indem wir sehen, das für jedes feste n die Gleichung nur noch von x, y und z abhängig ist? Demnach gibt es denn unendlich viele Tripel (x, y, z) für die die Gleichung eine wahre Aussage wird.


Analog kann man ja auch das x^n + y^n = z^n beweisen Smile Ist Dir klar, dass ganzzahlige Lösungen verlangt werden? Ansonsten schreibe mal deinen Beweis aus.
MGrey
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Anmeldungsdatum: 16.10.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 17:47:42    Titel:

Daran scheitert es ja. An sich ist der Bereich der nat. Zahlen doch auch unendlich, wenn auch kleiner als z.B. der Bereich der reellen Zahlen ... zumindest würde sich das sonst meinem Verständnis entziehen.

Ich hab die Idee auch mehr als Frage in den Raum gestellt, da ich selbst noch keinen brauchbaren, zweiten Schritt habe. Wink
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 19:31:35    Titel:

???

x^n+y^n=z^n hat offensichtlich bei festem n keine ganzzahligen Lösungen. Ich habe da auch einen Beweis für, aber der Platz hier reicht nicht aus...

Es ist bewiesen, dass es größere Unendlichkeiten gibt als das Abzählbare (Mengen, deren Elemente durchnummeriert werden können) Cantors Diagonalverfahren blabla und eine Grundvorraussetzung von IN ist auch, dass man alle Elemente ohne Wiederkehr durchläuft, wenn man von n zu n+1 schreitet, aber was hat das damit zu tun? Können ja auch alle unendlich vielen Elemente der Menge IN nicht zutreffen? ich verstehe deine Idee nicht Sad
Das hieße ja, dass man eine Frage zwangsläufig richtig beantwortet, wenn man unendlich oft antwortet. Und das ist nicht der Fall:
Beispiel: Was ist ein Auto?
Antwort1: Ja
Antwort 2: Ja Ja
Antwort 3: Ja Ja Ja
Antwort n: Ja Ja .... Ja
Es lassen sich also zu jeder Frage rein anschaulich schon unendlich viele falsche Lösungen angeben. Bei mathematischen Fragestellungen ist das nicht anders. Bzw. könntest du dann immer sagen: ich probiere einfach alle Elemente aus IR oder IN für meine Gleichung aus, also probier ich unendlich lange was aus, also gibt es eine Lösung.
False
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 20:04:44    Titel:

Übrigens für n = 0 gilt die Aussage auf eine ganz lustige Art und weise: Jede Lösung der Form (1,0,z) für z in lN ist eine Lösung.
MGrey
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Anmeldungsdatum: 16.10.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2005 - 22:54:49    Titel:

@KTU ... danke für die Hilfe, aber es könnte bei Gelegenheit auch etwas "freundlicher" ausgedrückt werden.
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