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Extremwertprobleme
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Allie
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Anmeldungsdatum: 17.09.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2005 - 19:05:18    Titel: Extremwertprobleme

Hallo,
ich hab da zwei Aufgaben zu Extremwertproblemen, die ich nicht verstehe.

1) Ein Rechteck habe den Umfang 12cm. Wie lange sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck maximalen Flächeninhalt hat?

Hab mal versucht die Aufgabe zu lösen, bin aber net weit gekommen.

----> Extremalbedingung: A= a*b (A soll maximal werden)

Nebenbedingung: 2a+2b=12, 2a= 12-2b, 2b=12-2a

Zielfunktion: ??


2) Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 10cm² erhalten. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck minimalen Umfang hat?

Wer echt nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte oder mir wenigstens die Ansätze geben könnte.
Matheboy18
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Anmeldungsdatum: 01.04.2005
Beiträge: 301
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2005 - 19:21:58    Titel:

Hallo das ist gar nicht so schwer, also du hast einen Umfang U von 12cm und willst die Längen so wählen, damit der Flächeninhalt maximal wird.
I 2a+2b = 12
II A = a*b

Jetzt musst du die erste Gleichung nach a oder b auflösen, ich nehme mal a:
a= 6 -b; diesen Term setzt du jetzt in die zweite Gleichung:

A= (6-b)*b
A = 6b -b²
jetzt machst du die ERSTE Ableitung, um das Extrema zu bestimmen:

A'(b) = -2b+6

-2b +6= 0 --> b = 3

a = 6-b --> a= 6-3 = 3

Lösung, wenn a = b = 3cm ist, hast du ein maximales Volumen.

(Beweis mit hilfe der 2. Ableitung:
A''(b) = -2 <0--> Hochpunkt!)
EliasWeber
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Anmeldungsdatum: 11.10.2005
Beiträge: 28
Wohnort: Solothurn

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2005 - 19:25:40    Titel:

Da war ich wohl zu langsam....
Aber wenn du es 2 mal lesen willst Wink


Rechtecke mit minimalem Umfang und maximalem Inhalt sind Quadrate:
=> s=U/4=3

Bei der 2. Aufgabe genau dasselbe
=> s=Wurzel von 10


Wenn du dies nun beweisen willst:

A(a,b)=a*b (Flächenfunktion)
=a*(6-a) (b+a=6 <=> b=a-6)

A'(a)=6-2a=0 (Ableitung gibt Maxima/Minima an, hier handelt es sich um ein Maximum, da es kein Minimum gibt)
=> a=3 => b=3
Allie
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Anmeldungsdatum: 17.09.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2005 - 15:14:48    Titel:

vielen dank! Very Happy
habt mir wirklich weitergeholfen Smile
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