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Satz von Abel-Ruffini (Betrifft Lösbarkeit von Gleichungen m
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Satz von Abel-Ruffini (Betrifft Lösbarkeit von Gleichungen m
 
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ThomasD
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Anmeldungsdatum: 12.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2005 - 21:08:59    Titel: Satz von Abel-Ruffini (Betrifft Lösbarkeit von Gleichungen m

Hallo!

Ich bin gerade damit beschäftigt, an meiner Facharbeit im LK Mathematik zu feilen. Dafür bin ich gerade dabei, zu versuchen, die Beweise, die die Unlösbarkeit von allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades durch Radikale betreffen, zu verstehen...
Derzeit beschränke ich mich jedoch auf die Ansätze von Ruffini.
Ich arbeite hierfür vor allem mit dem Buch "Algebra für Einsteiger" von J. Bewersdorff.

Dazu eine Frage: Auf S. 53ff. des erwähnten Buches wird Ruffinis Beweisansatz beschrieben.

Er beruhe auf diesem Satz:
SATZ: Gegeben ist ein Polynom g(x1,...,x5) in den Variablen x1,...,x5 und die daraus gebildete m-te Potenz f(x1,...,x5) = [g(x1,...,x5)]^m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Erfüllt nun das Polynom f bezüglich der Vertauschung der Variablen x1,...,x5 die Identitäten
f(x1,x2,x3,x4,x5) = f(x2,x3,x1,x4,x5) = f(x1,x2,x4,x5,x3)
so gelten die entsprechenden Identitäten auch für das Polynom g.

Im Folgenden wird dieser Satz dann bewiesen, wobei mir dieser Beweis im Prinzip einleuchtet.
Allerdings ist mir dann nicht ganz klar, wie man davon dann zum Ziel kommt. Im Buch wird es so beschrieben (sinngemäß):

"Nach Lagrange geht es bei der Auflösung einer solchen allgemeinen Gleichung darum, ausgehend von den elementarsymmetrischen Polynomen [also die, die sich über den Vieta-Wurzelsatz ergeben] schrittweise Polynome g1,g2,... in den Variablen x1,x2,... dadurch zu bestimmen, dass für jedes einzelne von ihnen eine Potenz gefunden wird, die aus bereits in vorangegangenen Schritten bestimmten Polynomen mittels der vier Grundrechenarten bestimmt werden kann. Der j-te Schritt hat also die Gestalt
gj(x1,x2,...)^mj = fj(x1,x2,...),
[Anm.: Das j steht jew. im Index, wie auch die Ziffern 1 und 2]
wobei die Funktion fj nur auf Basis der elementarsymm. Polynome g1,g2,...,g(j-1) gebildet ist. Besitzt die geg. allg. Gleichung einen Grad von 5 oder höher, so lässt sich Ruffinis Argument dahingehend anwenden, dass jedes Polynom gj die Eigenschaft
gj(x1,x2,x3,x4,x5) = gj(x2,x3,x1,x4,x5) = gj(x1,x2,x4,x5,x3)
erfüllen muss. Keiner der Schritte kann daher zu einem dem letzten Auflösungsschritt entsprechenden Polynom wie z.B. gj(x1,x2,...) = x1 führen."

(Zitat ende)
Wie gesagt, ich stehe nun vor der Frage: Was hat denn der obige Satz genau damit zu tun, und überhaupt, wie die zitierte Folgerung genau zu verstehen ist.

Es wäre echt toll, wenn sich jemand die Mühe macht, und mir das ganze vielleicht etwas erläutert, bzw. in eigenen Worten nahebringt... Danke schonmal!

mfg Thomas

P.S.: Falls noch jemand weitere Schriften/Quellen kennt, wo Ruffinis, Abels und evtl. auch Galois' Ansätze zu diesem Thema leicht verständlich Wink dargelegt sind, würde ich mich sehr freuen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2005 - 12:03:30    Titel:

Ich habe das Buch natürlich nicht da, daher kann ich nicht wirklich helfen. Außer, dass es mir verdächtig vorkommt, dass man den Beweis über multivariate Polynome macht. Meine Empfehlung: Lass die Finger davon.
JBew
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 08:17:01    Titel:

Ich empfehle, das betreffende Kapitel von Anfang an zu lesen.
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