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kommutativer Ring
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archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2005 - 17:57:05    Titel: kommutativer Ring

heute großer mathe tag bei mir, aber wie heíßt es so schön:

:Lernen ist wie in einem Fluß gegen den Strom schwimmen, wenn man aufhört treibt man zurück: Laughing

also, meine Aufgabe jetzt lautet:

In einem kommutativen Ring (R,+,*) mit Eins sei

G:= {a element R I Es existiert a^(-1) element R mit a*a^(-1)=e}

a.) zeigen sie: (G,*) ist eine Gruppe....

habe mir mal wieder zuerst alles aufgeschrieben, was bei einer Gruppe, einem Ring gilt:

Ring:

(i) (R,+) ist kommutative Gruppe
(ii) (R,*) ist assoziativ
(iii) `*` ist distributiv bzgl. '+' es gilt: a*(b+c) = a*b + a*c

ist (R,*) kommutativ, so heißt R ein kommutativer Ring.

Gruppe:

(i) es existiert ein e element G mit g*e=e*g=g
(ii) Für alle g existiert ein g# mit g*g'=g'*g=e
(iii) (f*g)*h = (h*g)*f für alle f,g,h element G

ich soll nun in meiner aufgabe zeigen, dass (G,*) eine Gruppe ist

als erstes muss ich nun also zeigen, dass ein einselement existiert. ist dies aber nicht völlig klar, da es lautet 'a*a^(-1) = e' ?^

dann muss ich zeigen, dass ein inverses existiert. Dies ist aber doch auch klar durch: a* a^(-1) = e, denn a^(-1) ist doch das inverse?

assoiativ ist das ganze doch eh, da es sich um einen ring handelt und damit die assoziativität gilt.



habe das gefühl bin völlig falsch Evil or Very Mad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2005 - 21:00:51    Titel:

Umgangssprachlich: Du pickst aus dem Ring alle Elemente raus, die ein Inverses haben. D.h. es gibt so ein a^(-1), sodass a * a^(-1) = 1. Ist nämlich genau die 1 von dem Ring. Und das soll eine Gruppe sein. Tipps zu den Eigenschaften:

a) Abgeschlossenheit ist dadurch gegeben, dass ein Inverses von a*b in R existiert. Wie schaut es aus?
b) Neutrales Element ist die 1. Warum?
c) Assoziativität vererbt sich.
d) Existenz eines inversen analog zu a)
archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 14 Okt 2005 - 10:42:27    Titel:

guten morgen

habe dazu jetzt aufgeschrieben:

zu (a) Abgeschlossenheit: das inverse von a*b ist: (a*b)^(-1), denn:
(a*b)*(a*b)^(-1) = e

zu (b) neutrales Element ist die 1, weil: a*1=1*a=a gilt

zu (c) Assoziativität: (R,*) ist laut def. eines Ringes assoiativ.Die Elemente von G sind elemente von´R, also ist auch (G,*) assoziativ.

zu (d) existenz des inversen, ist durch definition von G gegeben: a*a^(-1) = a^(-1)*a = e = 1


besser, oder muss das detaillierter ausgeführt werden
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 14 Okt 2005 - 12:29:05    Titel:

Zitat:
zu (a) Abgeschlossenheit: das inverse von a*b ist: (a*b)^(-1), denn: (a*b)*(a*b)^(-1) = e


Naja. Klar ist es. Aber, ... Smile Die Multiplikation ist in einem Ring i.A. nicht kommutativ. D.h. so einfach kann man das nicht hinschreiben. Du weißt aber, dass zu a ein Inverses gibt und zu b eins. Man weiß aber, dass a*(b*b^(-1))*a^(-1) = a * a^(-1) = e gilt. D.h. es ist besser zu schreiben, dass das Inverse zu a * b eben b^(-1) * a^(-1) ist, denn man spart sich da ein wenig Arbeit zu zeigen, dass es gleich (a*b)^(-1) ist. Jetzt aber fehlt noch der Schlusssatz: Weil eben ein Inverses in R vorhanden ist, ist a * b in deiner Untergruppe.

Zitat:
zu (b) neutrales Element ist die 1, weil: a*1=1*a=a gilt


Hier ist noch zu sagen, dass 1 * 1 = e in R ist und somit zu sich selbst invers und in der Untergruppe enthalten.

Der Rest erscheint mir Ok.
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