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Ungleichungen
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wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 22:44:39    Titel: Ungleichungen

Aufgabe:

Die reellen Zahlen a,b,c,d € R erfüllen die drei Ungleichungen

a + b > c + d
a > b
c > d

Welche der folgenden Ungleichungen gelten dann ?

1. a > c
2. a > d
3. b > c
4. b > d

Geben Sie jeweils eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an.

Ich steh grad mal voll auf der Leitung...

Schon mal im Vorraus vielen Dank !!!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 22:52:15    Titel:

Hab jetzt mal nen ersten Ansatz...

Also:

a > b ist eine der Vorraussetzungen, dann kann man doch mal annehmen, das a = b wäre.

Und

c > d ist eine der Vorraussetzungen, dann kann man doch mal annehmen, das c = d wäre.

Dann könnte man sagen, das a + b = 2a und c + d = 2c

Wegen a + b > c + d wäre dann 2a > 2c, also a > c...

Kann das sein ???

Denn dann wäre a > c und c > d, also a > c > d, damit a > d...

Weiter komm ich jetzt aber nicht !?!
kiah
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Anmeldungsdatum: 10.10.2005
Beiträge: 208
Wohnort: Hessen.. inzwischen Börlin

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 23:00:46    Titel:

also.. ich weiß nicht, ob ich dir irgendwie helfe..oder dich einfach nur verwirre.. aber

wenn du für:

a = 3
b =2
c = 1
und d =0

einsetzt, gelten dann alle Ungleichungen
Zitat:

1. a > c
2. a > d
3. b > c
4. b > d
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 23:05:26    Titel: Re: Ungleichungen

wild_and_cool hat folgendes geschrieben:
Aufgabe:

Die reellen Zahlen a,b,c,d € R erfüllen die drei Ungleichungen

a + b > c + d
a > b
c > d

Welche der folgenden Ungleichungen gelten dann ?

1. a > c
2. a > d
3. b > c
4. b > d

Wenn ich
a = 1
b = 0.5
c = 1
d = 0.4

wähle, gilt
1 + 0.5 > 1 + 0.4
1 > 0.5
1 > 0.4

Aber:
1. 1 > 1
gilt nicht
3. 0.5 > 1
gilt nicht
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 23:16:18    Titel:

wild_and_cool hat folgendes geschrieben:

a > b ist eine der Vorraussetzungen, dann kann man doch mal annehmen, das a = b wäre.

c > d ist eine der Vorraussetzungen, dann kann man doch mal annehmen, das c = d wäre.

Nein - damit würdest du ja die Vorraussetzung brechen.
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 23:31:17    Titel:

Ok. das mit den Vorraussetzungen seh ich ein...

Da war wohl der Wunsch Vater des Gedanken...

Die Gegenbeispiele sind schon sehr gut, das krieg ich in die Rübe rein...

Aber wie kann man das rein theoretisch zeigen ???
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2005 - 23:45:56    Titel:

Also wie man es formal zeigt das 1 und 3 nicht möglich sind, weiss ich nicht, aber ein Gegenbeispiel reicht da aus.

Vom Gefühl her würd ich sagen, dass 2 und 4 richtig sind, aber wie man es konkret beweist fällt mir grade nicht ein - ein Ansatz dazu ist aber eventuell:
a+b > c+d
a > b
c > d
Aus den o.g. Vorraussetzungen folgt:
=> b < a
=> d < c
Und daraus folgt:
=> b+d < a+c
=> a+c > b+d
und dann muss man mit a+c>b+d und a+b>c+d weiterschauen...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 22:22:07    Titel:

Nur der Vollständigkeit halber:

a = 1, b = 1/2, c = 1, d = 2/5

a + b > c + d --> 1 + 1/2 > 1 + 2/5 <-- erfüllt !!!
a > b --> 1 > 1/2 <-- erfüllt !!!
c > d --> 1 > 2/5 <-- erfüllt !!!

1. a > c --> 1 > 1 <-- nicht erfüllt !!!
3. b > c --> 1/2 > 1 <-- nicht erfüllt !!!

a=5, b=1, c=3, d=2

a + b > c + d --> 5 + 1 > 3+2 <-- erfüllt !!!
a > b --> 5 > 1 <-- erfüllt !!!
c > d --> 3 > 2 <-- erfüllt !!!

4. b > d --> 1 > 2 <-- nicht erfüllt !!!

Und zu 2.:

a > b
c > d <-- Addition geichgerichteter Ungleichungen
a + c > b + d
a - c > -b + d <-- Addition geichgerichteter Ungleichungen
2a > 2d --> a > d

Ich denke mal das wars...
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