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injektivität?
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trulle
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 13:12:36    Titel: injektivität?

Hallo!
Vielleicht kann mir ja jemand helfen und mir hoffentlich bestätigen dass meine Überlegungen zu einer Aufgabe richtig sind!

Und zwar habe ich die Abbildung f:R->R gegeben durch f(x)=x^2+x
Beim Zeichnen des Graphen ist mir dann deutlich geworden, dass diese Funktion nicht injektiv und nicht surjektiv ist.
Jetzt soll ich eine möglichst große Teilmenge M von R angeben, so dass die Beschränkung von f auf M injektiv ist!
Dazu habe ich mir überlegt, dass eine Funktion ja nur dann injektiv ist, wenn alle Parallen zur x-Achse den Graph nur in höchstens einem Punkt schneiden. Also müsste ich ja um f injektiv zu machen, den Definitionsbereich auf alle positiven reelen Zahlen beschränken. Oder?? Also wäre ja dann M=R+! Daraus folgt: f:M->R

Ich hoffe jemand kann das nachvollziehen und sagt mir ob das soweit richtig ist!!!!
Danke schon einmal im Voraus!!!
lg Trulle
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 13:23:59    Titel:

Nicht ganz. Es gibt mindestens zwei gleich große Inklusions-"maximale" Mengen, nämlich die links vom Scheitelpunkt -1/2 und die rechts vom Scheitelpunkt. Was die Größe im üblichen Sinne anbetrifft, so sind die Gleich groß und überabzählbar, weil man eine Bijektion zwischen denen bilden kann. Es gibt aber auch andere hässlichere Mengen, die man sich wählen kann. Z.B. jede Menge mit der Eigenschaft

-1/2+r in M gdw. -1/2- r nicht in M

bildet einen Sieb von Punkten, so dass die Funktion injektiv ist. Auch hier ist jede Obermenge nicht mehr aufgabenkonform. Die beiden anderen Mengen von oben sind hier als Speziallfälle enthalten.
trulle
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 14:01:13    Titel:

Hey!
ich habe als Scheitelpunkt aber nicht -1/2 heraus, sondern -0,5/-0,25!
verstehe aber auch nicht so ganz was du da schreibst! Aber schon mal danke für die Mühe
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 14:22:00    Titel:

Du hast doch dasselbe rausbekommen: -1/2 = -0.5. Bloß den Strich / als Trennstrich zu verwenden ist nicht schön. Man sollte ; nehmen, oder ",", wenn man "." für als Dezimalstellenseparator nimmt.
trulle
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 14:40:10    Titel:

ja ich habe dann als ich die antwort abgeschickt habe auch begriffen dass du das als -0,5 meintest!Dankeschön!
Vielleicht kannst du mir ja auch noch bei meiner anderen Aufgabe helfen!
und zwar soll ich beweisen, dass wenn f und g injektiv,auch g°f injektiv ist und wenn f und g surjektiv auch g°f surjektiv ist.Weiter soll ich beweisen, dass wenn f und g bijektiv, auch g°f bijektiv ist und es gilt (g°f)^-1=f^-1°g^-1
Es wäre toll wenn du mir helfen könntest!
Bin im Moment soweit, dass g°f injektiv bedeutet:
g(f(x))!=g(f(y)) für x!=y

Ach ja bewiesen werden soll das für die Abbildungen:
f:M->N g:N->P
Danke!
lg Trulle
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 15:01:36    Titel:

Die Beweise sind geschenkt. Man muss nur "das System" kapieren. Bei Injektiv sollte man Annehmen, dass man f(x) = f(y) hat und daraus folgern, dass x=y ist. Und das geht bei verschachtelten injektiven Abbildungen so. Gelte (g o f)(a) = g(f(a)) = g(f(b)) = (g o f)(b). Wegen g injektiv folgt f(a) = f(b) und wegen f injektiv folgt a = b. Fertig. Analog gehen die anderen Beweise.
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