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Quotientenkriterium vs. Wurzelkriterium
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butterflower
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 15:27:17    Titel: Quotientenkriterium vs. Wurzelkriterium

Hi ihr Mathecracks! Very Happy
Folgendes: Es geht um die Konvergenz einer Reihe. Habe sie mit dem Quotientenkriterium gelöst, wurde mir aber als Fehler angestrichen, laut Musterlösung sei die Aufgabe anscheinden nur mit dem Wurzelkriterium lösbar. Aber bevor ich viel rede, hier die Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Reihe
sum_{k=0}^infty [(x^k)*( a^(k*(k+1)/2))*(f(0)/k!)] für alle x aus lR konvergiert.
Folgende Anmerkungen: Die Aufgabe ist eine Teilaufgabe, genau genommen ist die Reihe die Taylorreihe einer Funktion die im vorherigen Aufgabenteil berechnet wurde, es gilt folgendes:
a aus (-1,1)\{0}
f(0) ungleich 0

So, hier nun meine Lösung mit dem Quotientenkriterium:
Definiere c_k := a^(k*(k+1)/2))*(f(0)/k!)
lc_(k+1)/c_k l = l a^(k+1) * (x/k+1)l ("l" sind die Betragsstriche)
=> limsup(k gegen unendlich) lc_(k+1)/c_k l=0, da a^(k+1) ->0 und x/(k+1) ->0
So, jetzt wirds interessant: Kommentar des Korrektors: Was passiert mit dem x? Das könnte doch gegen unendlich gehen.

Meine Meinung dazu: das x ist doch beliebig, aber
fest gewählt, und wenn das k gegen unendlich geht , finde ich doch für jedes x ein genügend großes k , so dass der limsup gegen 0 geht, oder etwa nicht???

So, zum vergleich die Musterlösungnach dem Wurzelkriterium:
limsup(k gegen unendlich) lc_kl^1/k = lal^(k+1)/2 * (f(0)/k!)^1/k =0.

Meine Meinung dazu: Hier wurde doch völlig das x^k vergessen, müsste vor dem limsup dann nicht noch ein lxl stehen? Meiner Meinung nach ändert das wiederum nichts an der Lösung (wegen beliebigem, aber fixem x), aber wenn der Kommentar des Korrektors richtig ist (was ich vorab ja gar nicht anzweifeln will), dürfte, wenn man das x^k mit unter die k-te Wurzel nimmt, die Reihe ja nicht konvergieren(?!) Warum wurde das x^k also nicht mit unter die Wurzel genommen??

Ich bedanke mich schonmal im voraus für eventuelle Statements, wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir noch heute vielleicht schreiben könntet, was ihr dazu meint bzw. aufzeigen könntet, wo u.U. meine Fehler liegen, bräuchte die Info, falls möglich, bis morgen
Wink
Gruß, butterflower
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 16:05:11    Titel:

Nun ja, das ist kompliziert.

Die Reihe die du dort hast ist eine Funktionenreihe,d.h. es gibt punktweise Konvergenz ung gleichmäßige Konvergenz. Wenn nach der punktweisen Konvergenz gefragt ist, ist dein Lösungsweg richtig. Über die gleichmäßige Konvergenz (Auf einem unbeschränkten Intervall) sagt das nichts aus.
butterflower
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 16:54:54    Titel:

Danke schonmal für die Antwort!
Die Aufgabe hieß im O-Ton: "Zeigen Sie, dass die Taylorreihe der Funktion f im Entwicklungspunkt x=0 für alle x aus lR konvergiert."
Hört sich meiner Meinung also eindeutig nach punktweiser Konvergenz an, nach gleichmäßiger Konvergenz wurde ja nicht explizit gefragt und es wurde vom Korrektor diesbezüglich auch nichts bemängelt, insofern sollte das mit der punktweisen Konvergenz passen. Was mich vielmehr vor allem verwundert hat war ja der Kommentar des Korrektors:
Zitat:
Was passiert mit dem x? Das könnte doch gegen unendlich gehen.

Das ist meiner Meinung totaler Käse, da der Grenzwert x gegen unendlich hier ja gar nicht interessiert.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 17:01:35    Titel:

Du hast vollkommen recht.
Die Korrektoren sind aber meist selbst Studenten die den Stoff noch nicht richtig verstanden haben.


(Ich habe mir deine Rechnung nicht angeguckt aber ich denke mal, das nach dem letzten Gleichheitszeichen ist Richtig.)
butterflower
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 17:10:55    Titel:

Gauss hat folgendes geschrieben:
Du hast vollkommen recht.
Die Korrektoren sind aber meist selbst Studenten die den Stoff noch nicht richtig verstanden haben.


Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass diese Aufgabe nicht nur ne Übungsaufgabe war, sondern Teil einer Klausuraufgabe der Analysis II-Klausur war, die ich (offiziell) nicht bestanden habe, da mir ein Punkt fehlt, der mir wegen besagter "falscher Anwendung" des Quotientenkriteriums abgezogen wurde. Da ich die Analysis I Klausur schon knapp (damals fehlte mir ein halber Punkt) innen Sand gesetzt habe und noch keinen Ana-Schein hab, hat diese aufgabe daher eine gewisse Bedeutung für mich Very Happy Very Happy
Ansonsten hätt ich deswegen glaub ich gar kein thread aufgemacht Wink
Wenn das was du sagst stimmen sollte, bin ich ja seeeehr beruhigt..... Sad Sad
Wink
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 17:21:59    Titel:

Egentlich kann x nicht gegen unendlich gehen, da x€(-1,1)\{0} sein muss.
butterflower
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 17:24:50    Titel:

Ne, das gilt für den parameter a.
x ist beliebig aus lR. Könnte man also theoretisch gegen unendlich gehen lassen, tut aber wie gesagt ja bei dieser aufgabe nichts zur sache
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2005 - 17:40:03    Titel:

Wenn man aber sagt, dass die Folge fn gegen f konverigiert für n->oo, dann ist im allgemeinen gleichmäßige Konvergenz gemeint. Das kannst du aber mit dem Quotientenkriterium nur beschränkt nachweisen. Ich denke mal du solltest es über den KOnvergenzradius bestimmen.

Guck doch mal ob die Funktio für x=2 konvergiert.
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