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Zwei Fragen zu Ungleichungen...
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fintschi
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Anmeldungsdatum: 21.10.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Hallein

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2005 - 11:59:29    Titel: Zwei Fragen zu Ungleichungen...

Hallo!

Sitze gerade bei einem Analysis Übungsblatt und habe eine Frage: Wie führe ich eine vollständige Induktion mit "größer gleich" durch...?
Beispiel: Ich habe eine Summe von k=-n bis n, von x^k "größer gleich" 2n+1 xeR.

Als weitere Aufgabe bei der ich nicht so ganz durchsteige: Für welche neN gilt die Ungleichung: n^2 - 1 > (n+1)^2 / 2 ?
Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte... Vielen Dank im Voraus...[/list][/quote]
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2005 - 12:03:30    Titel:

für b)

n² - 1 > (n+1)²/2

(n-1)(n+1) > (n+1)(n+1) / 2

n-1 > (n+1)/2

n-n/2 > 1/2 + 1

n/2 > 3/2

n > 3
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2005 - 13:23:42    Titel:

zu der 1. Ungleichung: (Lösung mit vollständiger Induktion)
(Für negative x gilt die Ungleichung NICHT, probier mal selber einige x)

n=1:

Summe(...) = x + 1 + 1/x

A) sei x = 1:

1+1+1=3=3 //die Ungleichung gilt

B) sei x>1: es existiert a>0 mit x=1+a:

1+a+1+1/(1+a) = 2 + a+ 1/(1+a)

wenn nun a + 1/(1+a) grosser 1 ist so gilt wieder: B) >3

also:

a² > 0 , weil a<>0

Erweitern:

a + a² + 1 > 1 + a

Durch (1+a) dividieren (ist erlaubt da 1+a <> 0 ist):

a+1/(1+a) > 1

damit ist es bewiesen

C) sei x<1 (x-positiv):

wird analog wie (B) bewiesen

Damit gilt der Induktionsanfang

Induktionsschritt:

n -> n+1:

Summe (...n+1) = Summe (...n) + x^(n+1) + x^(-(n+1))

>=2n+1 + x^(n+1) + 1/x^(n+1)

A) x=1:

...=2n+1 + 1 + 1 = 2n + 3 = 2(n+1) + 1 //also gilt

B) x>1:

man muss zeigen, dass x^(n+1) + 1/x^(n+1) > 2:

sei y = x^(n+1)

es gilt:

(y-1)² > 0

y² - 2y + 1 > 0

(x^(n+1))² - 2*x^(n+1) + 1 > 0

x^(n+1) * x^(n+1) + 1 > 2*x^(n+1)

Dividieren durch x^(n+1):

x^(n+1) + 1/x^(n+1) > 2

damit ist die Ungleichung bewiesen

C) x<1 (x-positiv):

selber beweisen

Damit haben wir auch den Induktionsschritt gezeigt, also gilt die Ungleichung
fintschi
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Anmeldungsdatum: 21.10.2005
Beiträge: 9
Wohnort: Hallein

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 15:50:14    Titel: Vielen Dank!

Das leuchtet mir ein, vielen Dank für die Hilfe. Hätte das zweite gleich gemacht, war aber unsicher, ob das als formaler Beweis gilt...DANKE!
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