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K-Vektorraum
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S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 15:40:16    Titel: K-Vektorraum

Kann mir viell. irgendwer helfen? Muss folgende Aufgabe lösen:

"Es gilt: Ein Körper K ist selbst schon ein K-Vektorraum. Zeigen Sie dies im Spezialfall K= R (also "R" für reelle Zahlen Wink ) durch Nachweisen der Axiome (V1) (das sind die 4 Axiome für abelsche gruppen bezl. der addition (assoziativgesetz, neutrales element, inverses element , kommutativgesetz) ) und (V2) (das sind die 4 axiome, für die aüßere valso für die Multiplikation mit skalaren)."

Also mein Problem ist schon der erste Satz: Wie kann ein Körper selbst schon ein Vektorraum sein??? ein körper ist doch nur bestandteil eines vektorraumes oder nicht?! ich muss doch erst VxV (also innere verknüpfung bezl. der addition) und dann KxV (äußere Verknüpfung --> multiplikation mit skalaren. ) da is doch der körper K nur ein Bestandteil und den Rest muss ich mit vektoren machen.. wie kann dann der körper alleine ein vektorraum sein ? und vor allem wie bring ich jetz die reellen zahlen da noch mit ein .. was soll ich da wo nachweisen...
Hääää?!?!? kann mir bitte irgendjemand meinen Denkfehler erklären und mir irgendwie klarmachen, wie ich hier anfangen muss / wie das geht? ich blick überhaupf nich durch...

Würde mich über eure hilfe freuen...
*thx*
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 22:55:21    Titel:

Zitat:
Wie kann ein Körper selbst schon ein Vektorraum sein???


Kann er nicht. Aus der Sicht der Algebra ist dieser Satz absoluter Unsinn, denn Körper und Vektorräume besitzen bereits unterschiedliche Anzahl von Oprationen (ausgenommen triviale Fälle, die mir jetzt nicht eingefallen sind Smile ).

Man kann aber eine "Identifikationsabbildung" von jedem Körper K in einen K-Vektorraum mit K als Trägermenge angeben. D.h. jedem Element von K wird (im Wesentlichen per Identität auf den Trägermengen) ein Vektor K zugeordnet. Dann kann man den Körper mit dem entsprechenden K-Vektorraum mit K als Trägermenge "identifizieren" d.h. gleichsetzen.

Und in deinem Fall wird z.B. eine Zahl a in lR als Vektor a in lR-VR V mit der Trägermenge lR angesehen.
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 10:22:51    Titel:

Versteh ich aber immer noch nich so wirklich (Dann Ist doch der erste Satz: "Es gilt..." schon falsch oder net), aber trotzdem danke für deine Bemühungen mir das zu erklären Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 12:41:10    Titel:

Wenn Du in deinem Skript rumblätterst, so wirst Du vermutlich einen Satz finden: Wir wollen nun nicht zwischen dem Körper K und den zugehörigen K-Vektorraum nicht unterscheiden. Sonst hat dein Prof gepatzt.
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 13:03:22    Titel:

Wir haben leider kein Skript Sad Halt nur das, was er an die Tafel schreibt. Und da stand kein Satz dieser Art. Auch nichts ähnliches... Naja, ich bin jetzt hier gerad dabei das mit dem zu versuche, was ich aus dem, was du mir gesagt hast, verstanden habe (sorry, für den komischen satz Wink ). Mit anderen Worten: ich gehe davon aus, dass die Komponenten der Vektoren reelle Zahlen sind, und beweise dadurch sämtliche Axiome. Klappt auch bisher alles, hoffe einfach, dass das jetzt so richtig ist.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 13:23:07    Titel:

Genau. Einfach 0 in lR mit 0 als Vektor denken. 1 als Vektor usw. und damit rechnen. Und Multiplikation geht ja offensichtlich.
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 15:22:08    Titel:

GUt, ok, dankeschöööön!!! Smile
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