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Vollständige Induktion: n² <= 2^n ?
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goosie
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Anmeldungsdatum: 21.09.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 17:25:59    Titel: Vollständige Induktion: n² <= 2^n ?

Hi,
ich habe hier eine Aufgabe zum Thema vollständige Induktion. Man soll zeigen dass n² <= 2^n für alle n >= 4 ist.
Den Induktionsanfang für n=4 hab ich hinbekommen. Jetzt der Induktionsschritt für n+1. Man hat also zu zeigen, dass (n+1)² <= 2^(n+1) ist. Dann habe ich versucht weiter umzuformen: links mit binomischer Formel, rechts mit 2^(n+1)=(2^n)*2. Ich komme aber nicht zum Ziel.
Kann mir irgendjemand weiterhelfen??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 19:58:20    Titel:

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 <= 2^n + 2n + 1 <= 2^n + 2^n = 2 2^n = 2^(n+1)
goosie
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Anmeldungsdatum: 21.09.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 20:15:01    Titel:

wieso ist 2^n+2n+1<=(2^n)+(2^n) ?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 20:20:25    Titel:

2n+1 <= n^2 <= 2^n
goosie
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Anmeldungsdatum: 21.09.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 22:30:33    Titel:

wieso ist 2n+1 <= n^2 ? also schon klar, dass das so ist, aber wie zeig ich das?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 22 Okt 2005 - 22:48:44    Titel:

n^2 - 2n + 1 - 2 = (n-1)^2 - 2 >= 0, weil n-1 >=3 und somit (n-1)^2 >= 9. Daraus folgt n^2 - 2n + 1 - 2 = n^2 - 2n - 1 >= 0 und somit n^2 >= 2n + 1
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