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Eigenschaften von Relationen
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Allanon
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 13:30:58    Titel: Eigenschaften von Relationen

Erstmal danke fürs reinschauen Smile

Ich habe folgende Relationen gegeben und muß zeigen ob sie reflexiv, transitiv, symmetrisch sind und im Falle einer Äquivalenzrealtion die Partition der entsprechenden Menge in Äquivalenzklassen angeben.

a) R = {(m,n)|m,n Element N(atürlliche Zahlen) und m teilt n}
b) R = {(P,Q)| P, Q Punkte einer Ebene mit gleichem Abstand vom Ursprung 0}

Als ich das gelesen habe tauchte ein sehr sehr großes Fragezeichen bei mir auf.... Sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 16:19:36    Titel:

Schaue Dir die Definitionen von entsprechenden Eigenschaften an. Wenn Du dabei ein theoretisches Problem (Verständnisproblem) hast, so poste es. Ansonsten, wenn Du also keins hast, ist meine Antwort: Einsetzen und rechnen, bis alle Stifte kaputt gehen.

Was die Äquivalenzklassen anbetrifft, so ist die Idee zu überlegen welche Elemente nicht äquivalent sind!
Allanon
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 19:02:17    Titel:

Ich habe ein Verständnisproblem damit!
Wenn anstelle von m,n,P,Q richtige Zahlen stehen würden, dann könnte ich diese Sachen problemlos lösen. Aber mit m,n,P,Q ist es mir irgendwie zu abstrakt...

Vielleicht hab ich die Frage auch falsch gestellt, aber ich verstehe nicht was Partitionen einer Äquivalenzrelation sind/ist...

Sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 23 Okt 2005 - 23:34:59    Titel:

Die meinen nicht "Partitionen einer Äquivalenzrelation". Das ist Unsinn, weil so was i.A. nicht die Axiome einer Äquivalenzrelation erfüllt. Eine Äquivalenzrelation zerlegt eine Menge in Äquivalenzklassen. Diese Klassen sind Elemente einer Partition. Das wird wohl gemeint. Versuche mal zu rechnen und schreibe, was Du bisher hast. Dann diskutieren wir weiter.
Allanon
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 21:03:48    Titel:

ich komme nicht drauf.... Crying or Very sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 21:14:20    Titel:

Schreibe, welche Eigenschaft Du versucht hast und nicht lösen konntest und vorgerechnet haben willst.
Allanon
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 19:28:20    Titel:

Also ich bin zu folgenden "Ergebnissen" gekommen:
(€ = element)
a) R= {(m,n)|m,n €von N, m teilt n}
=> m teiler von n, also n/m=a, a element von N(atürlichen Zahlen)
reflexiv: (a,a)€ R
da hab ich nicht reflexiv raus, da ich probeweise werte eingesetzt habe. Bsp: (1,2)€R => 2/1=2
(2,1)€R => 1/2=0,5 => kein € von N

transitiv: (a,b)€R und (b,c)€R => (a,c)€R
(m1,n1)€R und (n1,n2)€R => (m1,n2)€R
ist transitiv, da m teiler von n ist

symmetrie: (a,b)€R => (b,a)€R
(m,n)€R /=> (n,m)€R (ist kein €)
Bsp: (m,n)€R => n/m€R => 2/1= 2 €N
(n,m)€R => m/n€R => 1/2=0,5 /€ N (kein €)
nicht symmetrisch


b) R={P,Q| P,Q sind Punkte einer Ebene mit gleichem Abstand vom ursprung 0}
Da P und Q Punkte sind, haben sie Koordinaten, deshalb P(x,y) und Q(a,b)
reflexiv:
nicht reflexiv, da nicht jedes € auf sich selber abgebildet wird

transitiv: da gleicher Abstand von urpsung 0, sind die y- und die x-Koordianten von P und Q gleich, sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen (negativer oder positiver Bereich)
=> P(x,y)€R und P(y,z)€R =>P(x,z)€R
=> Q(a,b)€R und Q(b,c)€R => Q(a,c)€R
ist transitiv,unter der Vorraussetzung das |z|=|c|

symmetrie:
P(x,y)€R => P(y,x)€R
wenn auch
Q(a,b)€R => Q(b,a)€R
also ist es symmetrisch


hab ich das jetzt richtig gerechnet? Confused

Danke das du dir Zeit dafür nimmst Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 19:41:01    Titel:

Das hat genau 30 Sekunden gedauert Smile Also nichts zu danken. Kurzgesagt: Alles falsch. Nicht nur, weil die Eigenschaften falsch bestimmt wurden, sondern, weil auch die Beweisführung kläglich schlecht ist.

Beispiel: Teilbarkeit

Beh: | ist reflexiv.
Beweis: a | a (a ist Teiler von a), denn a * 1 = a für alle a in lN. qed
Beh: | ist transitiv.
Beweis: Gelte a | b, b | c. Dann gilt b = a * k, c = b * l für k,l in lN. Dann gilt c = b * l = a * k * l = (k*l) * a. Also a | c. qed
Beh: | ist antisymmetrisch
Beweis: Gelte a | b und b | a. Wenn a = b = 0 ist, ist alles klar. Sei a <> 0. Damit ist auch b <> 0, denn 0 Teilt nur die 0. Dann gilt b = a * k und a = l * b für k,l in lN. Somit gilt b = a * k = l * b * k. Somit gilt wegen Kürzbarkeit (b <> 0) 1 = l * k. Somit gilt l = k = 1, da 1 die einzige Einheit in lN ist. Somit ist b = a. qed
Allanon
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 21:32:26    Titel:

Hmmm.. jetzt hab ich fast 2 Tage für meine Rechnung gebraucht und sie falsch... Confused
Aber warum muß man denn für die Teilbarkeit nach reflexiv, symmetrie und transitiv beweisen?
Ich meine, deine Beweisfühurng ist für mich völlig schlüssig, aber ich wäre nicht darauf gekommen! Aber abschreiben will ich jetzt nicht...

Dankeschön Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 22:09:34    Titel:

Zitat:
jetzt hab ich fast 2 Tage für meine Rechnung gebraucht und sie falsch... Confused


Das sind genau 2 Tage, die Du was nützliches gemacht hast: nämlich nachgedacht! Was glaubst Du, wie lange ich an ähnlichen Aufgaben gesessen bin?

Zitat:
Aber warum muß man denn für die Teilbarkeit nach reflexiv, symmetrie und transitiv beweisen?


Sonst wäre die Aufgabe witzlos. Man könnte dann gleich sagen: Beweis: trivial.

Die Idee bei diesen Aufgaben ist die, dass man "das Beweisen" lernt. Und in Fällen, wie diesen ist die Vorgehensweise meist die gleiche:

Code:

Aufgabenstellung -> Reduktion auf die Definition -> Aufgabenstellung
                 |                               |
        Voraussetzung anwenden               Folgerung
                 |                               |
a | b und b | c -> b = a *k, c = b * l = (kl)*a ->    a | c           
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