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Vollständuge Induktion
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MacRyan
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 13:58:13    Titel: Vollständuge Induktion

Hallo,

ich befasse mich momentan mit der vollständigen Induktion. Nur leider habe ich da zwei Probleme bei denen ich ohne tipp nicht weiter komme.

1) Zeigen Sie: Sei M eine nichtleere Teilmenge von |N. DAnn gibt es ein m0 in M mit m0 <= m für alle m aus M.
Hinweis: Betrachte die Aussage A(n): Enthält M eine natürliche Zahl k mit k <=n, so besitzt M ein m0 mit m0 <= k für alle k aus M.

Was ich bisher weiß ist, dass M nach unten beschränkt ist und ein kleinstes Element besitzt. Aber weiter komm ich nicht.

2) f0 := 0, f1 := 1. Für n >= 2 gelte fn = fn-1 + fn-2.

Zeige: fn = 1/wurzel5 (((1 + Wurzel5)/2)^n - ((1 - Wurzel5)/2)^n)

Hier hab ich überhaupt keinen Ansatz. Bin für jeden Tipp dankbar und bitte meine schreibweise zu entschuldigen, weiß nicht, wie ich es anders darstellen soll.

MfG
MacRyan
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 14:59:01    Titel:

vercuch die zweite Aufgabe mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

zeige das die Formel für n = 1 und n = 2 gilt

Induktionsschritt:

addiere f(n-1) + f(n-2):

1/wurzel5 (((1 + Wurzel5)/2)^(n-1) - ((1 - Wurzel5)/2)^(n-1))

und

1/wurzel5 (((1 + Wurzel5)/2)^(n-2) - ((1 - Wurzel5)/2)^(n-2))

damit muss du:

fn = 1/wurzel5 (((1 + Wurzel5)/2)^n - ((1 - Wurzel5)/2)^n)

rausbekommen
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 15:12:41    Titel:

die erste Aufgabe ist rein mathematisch schwer zu beschreiben, also es geht etwa so:

Sei M eine Teilmenge von N, die aus x natürlichen Zahlen besteht: k0, k1, k2...kx mit k0<k1<k2<...<kx
Teilmenge ist nach unten beschrenkt (warum, zeige selbst)
Also gibts ein Minimum k0

Induktionsanfang:

man nehme m = k0

man setze m0 = k0, damit gilt: "="

man setze m = k1 und m0 = k0. Damit gilt nach Anordnung von Zahlen k das Zeichen "<"

Induktionsschritt:

sei für m=kp die Sache bewiesen.

man setze m = k(p+1) und m0 = kp

Da nach Anordnung kp < k(p+1) so gilt wieder "<"-Zeichen
MacRyan
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 16:44:18    Titel:

Die Antwort zur ersten Aufgabe ist mir verständlich. Aber bei der zweiten Aufgabe weiß ich immer noch nicht weiter...

Vielleicht sollte ich dazu schreiben, das bei dem fn-1 das n-1 im Index steht genauso verhält es sich mit dem n-2...

MfG
MacRyan
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 16:46:27    Titel:

wie du weiss nciht???
Hast du das Thema Vollständige Induktion nciht verstanden?
Du hast beide Formeln für fn-1 und fn-2, nun musst du dies für fn beweisen, indem du die beise addierst, denn: fn = fn-1 + fn-2
MacRyan
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 23:10:02    Titel:

hab es jetzt gelöst. brauchte nur etwas pause und neuen gedenkansatz.

mfg
MacRyan
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