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Mitternachtsformel -- vs. -- pq-Formel
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Mitternachtsformel -- vs. -- pq-Formel
Mitternachtsformel
45%
 45%  [ 19 ]
pq-Formel
54%
 54%  [ 23 ]
Stimmen insgesamt : 42

Autor Nachricht
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 18:18:43    Titel:

Es kommt darauf wozu man die Formel benutzen will.
Für ein Computerprogramm ist die Mitternachtsformel besser geeignet, da bei großen Zahlen der relative Fehler geringer ist, als bei der p-q-Formel.
Mellemaus
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 12
Wohnort: bad salzuflen

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 18:21:37    Titel:

is doch nen ganz klarer fall: pq-formel ist einfacher zu benutzen und man muss nicht solange überlegen, was man wo einsetzten muss..
das ist zum mindest mein prob immer wenn ich maaaaal die mitternachtsformel rauskrame....
na dann , schönen tag noch ihrz
murania
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 2602

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 18:21:48    Titel:

bei einfachen Zahlen ist die pq-Formel besser, aber da man diese meistens nicht hat, ist die mitternachtsformel in den meisten fällen klar im Vorteil
goldencore
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 19:54:05    Titel:

Es ist irgendwie nicht gut, damit zu argumentieren, eine der Formeln sei besser, weil man sie auswendig kann. Das ist halt Gewohnheit.

Ich würde sagen für die Schulmathematik ist es egal, welche Formel man anwendet. Wenn man als Mathelehrer allerdings den Anspruch hat, die Schüler sollen Mathe und nicht rechnen lernen, dann bringt man ihnen die quadratische Ergänzung bei, da man dort verstehen kann, warum die Lösung so aussieht. Nebenbei, kann man sich dann auch klarmachen, dass die pq-Formel das formale Endergebnis der quadratischen Ergänzung ist. Ich habe allerdings gar nichts dagegen, diese Formel auswendig zu können.

Hier noch ein Link (habe ich mal für meine Schüler gemacht):

http://rapidshare.de/files/6794625/pqFormel.pdf.html
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 16:39:26    Titel:

Du hast recht, die p-q, Formel ensteht mit Hilfe der quadr. Ergänzung und das wichtige ist eigentlich, dass man von dieser Herleitung etwas gehört hat. Die p-q Formel spart im Endeffekt ein paar Zeilen.
S1
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 16:54:09    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Zitat:
ich denke, wie man es macht ist sch*** egal


Tja. Falsch gedacht.


wieso?

MFG S1
SarahW.
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Anmeldungsdatum: 12.07.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 17:12:35    Titel:

Also, wir haben in der Schule die Mitternachtsformel gelernt, nachdem wir sie selbst herleiten sollten.
Ist doch eigentlich echt egal, welche man benutzt, hauptsache man weiss, warum, und man verrechnet sich nicht (zu) oft. Und das ist ja bei jedem anders... Ich bevorzuge aber die Mitternachtsformel. ...
chibi pan
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 495

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 17:23:51    Titel:

Deshalb bevorzuge ich die quadratische Ergänzung! Da macht am wenigsten Fehler! Vor alem bei den Vorzeichen, ich denke, da haben viele Prbleme!
goldencore
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 18:10:48    Titel:

Noch eine Ergänzung. Ich benutze auch immer die Mitternachtsformel. Warum? Na ja, weil ich sie in der Schule gelernt habe und seitdem auswendig weiß.

Trotzdem bringe ich meinen Schülern erst die quadratische Ergänzung bei, übe diese und benutze im Unterricht parallel auch die p-q-Formel. Die Mitternachtsformel reiche ich dann irgendwann nach. So kann sich jeder aussuchen, was ihm am besten gefällt, aber alle haben zumindest die Möglichkeit, die Herleitung zu verstehen.

Die Erfahrung zeigt, dass ungefähr die Hälfte quadratische Ergänzung und die andere Hälfte p-q-Formel benutzt. Die Erfahrung zeigt allerdings auch, dass bei beiden Methoden mannigfaltige Fehler möglich sind Very Happy
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 18:11:40    Titel:

Zitat:
Wieso?


Hey. Schreibt Ihr alle da was rein, ohne die Beiträge davor oder den Beitrag des Threaderstellers gelesen zu haben? Er wollte objektive Begründungen. Es gibt eine einfache, jedoch ein wenig rechenintensive Begründung. Der nach ist die Mitternachtsformel besser, denn man führt bei der anderen Formel eine Rechnung der Form sqrt(b/a^2). Diese ist numerisch extrem bösartig.

Code:

#include <iostream>

// Rundet auf 4 dezimalstellen
float runden(double x) {

    return round(x*10000)/10000;

}

std::pair<double,double> abweichung(double a, double b, double c) {

   // p und q ausrechnen
   double p = runden(b/a);
   double q = runden(c/a);

   // Diskriminante bei der Mitternachtsformel
   double d = runden(runden(b*b) - runden(4*runden(a*c)));
   // pq-Formel
   double dpq = runden(runden(runden(p/2) * runden(p/2)) - q);

   // Test auf Diskriminante (für Windows)
   if (d < 0 || dpq < 0) {
      //throw(std::string("Irrecoverable system error"));
      return std::pair<double,double>(0,0);
   }

   // Nur eine Lösung MTF
   double xm = runden(runden(runden(sqrt(d)) - b) / runden(2*a));
   double xpq = runden(runden(sqrt(dpq)) - runden(p/2));

   // Mitternachtsformel ohne runden
   double xnr = (-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a);
   
   //std::cout << "Mitternachtsformel: " << xm;
   //std::cout << " p-q-Formel: " << xpq;
   //std::cout << " Ohne Runden: " << xnr << std::endl;

   double am = (xm - xnr)*(xm - xnr);
   double apq = (xpq - xnr)*(xpq-xnr);
   return std::pair<double,double>(am,apq);

}

int main() {

    int i = 0;

    double am = 0;
    double apq = 0;

    while (i < 100000) {

   // Erzeuge zufällig a,b und c

   double a = double(random()-100000000)/(double)10000000;
   double b = double(random()-100000000)/(double)10000000;
   double c = double(random()-100000000)/(double)10000000;

   std::pair<double,double> w = abweichung(a,b,c);
   am = am + w.first;
   apq = apq + w.second;
   
   i++;

    }

    std::cout << "Abweichung Mitternachtsformel: " << am/(double)i << ","
         << "Abweichung p-q-Formel: " << apq/(double)i << std::endl;

}


Der folgende Code simuliert eine 4 Stellige Dezimalrundung, die ein Schüler beim Berechnen der Nullstellen üblicherweise machen würde. Das Programm schmeißt 100000 zufällig erzeugte Zahlen in beide Formeln und wertet den quadratischen mittleren Fehler (nicht ganz, bin zu faul aber ausreichend repräsentativ).

Ergebnis:

Code:

Abweichung Mitternachtsformel: 1.75837e-08,Abweichung p-q-Formel: 15784.3


Die Ausgabe spricht für sich: Wenn bei der Mitternachtsformel ein durchschnittsfehler von 10^(-4) zu beobachten ist, war der Fehler bei der p-q-Formel auch mal um die 127. Wäre auch nicht schlimm, wenn die Mitternachtsformel dabei auch abkacken würde. Tut sie aber nicht.
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