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Quotientenregel+Produktregel
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Jeny
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 19:57:22    Titel: Quotientenregel+Produktregel

Hallo kann mir einer sagen wie diese beiden regeln bewiesen werden?
muss das für meine klausur am freitag können ..
wäre sehr schön wenn mir einer helfen könnte!!
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 20:04:35    Titel:

Schule oder Studium?
Jeny
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 20:05:54    Titel:

schule Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2005 - 20:27:35    Titel:

Hast du diese Definition:

lim(h->0)( f(x+h)-f(x) )/h = f'(x) ?
Jeny
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 13:54:02    Titel:

also wir haben einmal für die quotientenregel:

f'(x)=u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)/(v(x))²

und für die produktregel:

f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 14:20:57    Titel:

Produktregel:

sei eine Funktion h(x) gegeben mit der Form h(x) = f(x)*g(x), also besteht aus zwei Funktionen. Nun die Ableitung:

f'(x) = (f°g)'(x) = lim h ->0 [(f°g)(x+h) - (f°g)(x)]/h = lim h-> 0 [f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x)]/h

Nun erweitern mit f(x)*g(x+h):

f'(x) = lim h->0 [f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x+h) + f(x)*g(x+h) - f(x)*g(x)]/h

= lim h->0 [ g(x+h) * (f(x+h) - f(x)) + f(x) * (g(x+h) - g(x)) ] / h

= lim h->0 [ g(x+h) * (f(x+h)-f(x))/h ] + lim h->0 [ f(x) * (g(x+h)-g(x))/h ]

=g(x)*f'(x) + f(x)*g'(x)
Jeny
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Anmeldungsdatum: 20.10.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 14:24:45    Titel:

gut danke Smile! nur wa sheißt das °?
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 14:31:27    Titel:

Qoutientenregel:

Angenommen, du hast eine Funktion h(x) = f(x) / g(x)

wir suchen zuerst die Ableitung von 1/g(x), danach wenden wir das Produktregel für den Fall: f(x) * 1/g(x)

also sei k(x) = 1/g(x):

k'(x) = lim h ->0 [1/g(x+h) - 1/g(x)] / h

= lim h->0 [ (g(x) - g(x+h)) / (g(x)*g(x+h)) ] / h

= lim h ->0 [ - (g(x+h) - g(x))/h ] / (g(x)*g(x+h))

= -g'(x)/g²(x)

Nun Produktregel:

h'(x) = f'(x)*k(x) + f(x)*k'(x)

= f'(x)/g(x) - f(x)*g'(x)/g²(x)

= f'(x)*g(x) / g²(x) - f(x)*g'(x)/g²(x)

= [f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)]/g²(x)
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 14:31:44    Titel:

Jank!e hat folgendes geschrieben:
Produktregel:

sei eine Funktion k(x) gegeben mit der Form k(x) = f(x)*g(x), also besteht aus zwei Funktionen. Nun die Ableitung:

k'(x) = (f°g)'(x) = lim h ->0 [(f°g)(x+h) - (f°g)(x)]/h = lim h-> 0 [f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x)]/h

Nun erweitern mit f(x)*g(x+h):

k'(x) = lim h->0 [f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x+h) + f(x)*g(x+h) - f(x)*g(x)]/h

= lim h->0 [ g(x+h) * (f(x+h) - f(x)) + f(x) * (g(x+h) - g(x)) ] / h

= lim h->0 [ g(x+h) * (f(x+h)-f(x))/h ] + lim h->0 [ f(x) * (g(x+h)-g(x))/h ]

=g(x)*f'(x) + f(x)*g'(x)


so wäre es besser!

° = eine verknüpfung
in seinem fall die * von 2 Funktionen
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 14:32:30    Titel:

f°g(x) bedeutet f(g(x))
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