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Komplexe Zahlen Bitte !?
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El_Duce
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 10:40:32    Titel: Komplexe Zahlen Bitte !?

Hi,
ich brauch dringed Hilfe bei einer Aufgabe. Hoffe jemand kann mir helfen.

Aufgabe: Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen w der Gleichung!!

(w+1)³ - i = 0

Weiss da jemand einen Lösungsansatz. Danke schonmal für die Mühe!!!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 14:58:26    Titel:

(w+1)³ - i = 0
w³ + 3w² + 3w + 1 - i = 0

Jetzt muss man um auf eine quadratische Gleichung zu kommen eine Nullstelle erraten... Oder die Cardanon'sche Formel verwenden...

Also um die + 1 - i wegzubekommen wäre ja etwas mit - 1 + i nicht schlecht...
Ausprobieren:

(- 1 + i)³ + 3(- 1 + i)² + 3(- 1 + i) + 1 - i = 0
Jetzt mal in Einzelschritten:
(- 1 + i)³ = -1 + 3*(-1)²*i + 3*(-1)*i² + i³ = -1 + 3i + 3 - i = 2 + 2i
3(- 1 + i)² = 3*(1 - 2i + i²) = -6i

Jetzt alles zusammen:
2 + 2i - 6i - 3 + 3i + 1 - i = -2i und das ist ungleich 0

Schade, dann probieren wir - 1 - i
(- 1 - i)³ + 3(- 1 - i)² + 3(- 1 - i) + 1 - i = 0
(- 1 - i)³ = -1 + 3*(-1)²*(-i) + 3*(-1)*(-i)² + (-i)³ = -1 - 3i + 3 + i = 2 - 2i
3(- 1 - i)² = 3*(1 + 2i + i²) = 6i

Jetzt wieder alles zusammen:
2 - 2i + 6i - 3 - 3i + 1 - i = 0 das passt also...

Jetzt Polynomdivision mit w = - 1 - i --> w + 1 + i
(w³ + 3w² + 3w + 1 - i ) : (w + 1 + i) = w² + (2 - i)w - i
-(w³ + w² + w²*i)
2w² - w²i + 3w + 1 - i --> (2-i)w² + 3w + 1 - i
-((2-i)w² + (2-i)w + (2-i)wi)
3w + 1 - i - (2-i)w - (2-i)wi --> -iw + 1 - i
-(-iw - i + 1)
0

Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung
w² + (2 - i)w - i = 0
Diese löse ich am liebsten mit der Mitternachtsformel:


w1/2 = -(2 - i)/2 +- Wurzel((2 - i)² - 4 * (-i)) / 2
w1 = -1 - i/2 + (1/2) * Wurzel((2 - i)² + 4i)
w1 = -1 - i/2 - (1/2) * Wurzel((2 - i)² + 4i)

(2 - i)² = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

w1 = -1 - i/2 + (1/2) * Wurzel(3)
w1 = -1 - i/2 - (1/2) * Wurzel(3)

Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht selber verwirrt...
El_Duce
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 12:45:50    Titel:

wow vielen dank für den Lösungsweg. So hätt ich es nicht gemacht. Hab zwar auch rumprobiert aber leider ohne Erfolg. Vielen Dank nochmal für die Mühe und die Hilfe.
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