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Beweisverfahren der vollständigen Induktion
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lvy
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Anmeldungsdatum: 20.05.2005
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 15:22:33    Titel: Beweisverfahren der vollständigen Induktion

HEy!
Ich versteh die Aufgabe nicht so ganz:
Für alle n E |N gilt: 4n<_(kleiner gleich) n^2+4
a) Beweise die Ungleichung durch vollständige Induktion.
b) Beweise die Ungleichung durch Umformung und Anwenden der binomischen Formeln.
Kann mir da jemand helfen?!
Hab echt keinen Plan wie das geht!
Gruß
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 15:33:48    Titel:

mist verrechnet^^

janke war nun schneller Sad

also es geht darum

4<=2n ab n=>2

daher die beiden anderen fälle gesondert

oder

n=1
4<=5

n->n+1

4(n+1)=4n+4
<=n^2+4+4=n^2+5+3
<=n^2+2n+3
=(n+1)^2+2
<=(n+1)^2+4

bewiesen


Zuletzt bearbeitet von brabe am 26 Okt 2005 - 15:48:19, insgesamt einmal bearbeitet
lvy
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Anmeldungsdatum: 20.05.2005
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 15:39:30    Titel:

??
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 15:43:30    Titel:

n=1:

4<5 also gilt

n=2:

8=8 also gilt

n=2:

12 < 13 also gilt

n -> n+1:

4(n+1) = 4n + 4 <= n² + 4 + 4 <= n² + 4 + 2n + 1 = (n+1)² + 4

bewiesen
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 15:45:13    Titel:

zu b)

es gilt:

(n-2)²>=0

für n = 2 gilt das Gleichheitszeichen

n² - 4n + 4 >= 0

also:

4n <= n² + 4
lvy
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Anmeldungsdatum: 20.05.2005
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 12:21:32    Titel:

danke soweit... hab nur eins nicht verstanden bei a)
wie kommst du von 4(n+1)=4n+4 zu n^2+4+4 ???
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 13:04:05    Titel:

das is doch Induktionsvoraussetzung, du hast doch:

4n <= n² + 4, also

4n + 4 <= n2 + 4 + 4
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