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Flächen unter und zwischen Funktionsgraphen
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Biene-Maja
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 16:21:38    Titel: Flächen unter und zwischen Funktionsgraphen

Hallo!

Ich bin froh, dass ich dieses Forum hier gefunden habe und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Ich bin lange Zeit krank gewesen und bin jetzt dabei, alles nachzuholen. Wie ihr euch vielleicht denken könnt, ist das gar nicht so leicht, zumal in meiner Familie und in meinem Freundeskreis weit und breit keine Mathe-Asse zu finden sind. Confused

Meine Mathelehrerin hat mir einen Übungsbogen gegeben, den ich durcharbeiten soll. Ich bitte euch darum, mir zu helfen, die Aufgaben zu lösen. Am einfachsten wäre es für mich, wenn ihr mir eure Rechnungen zukommen lasst, dann kann ich es am einfachsten nachvollziehen. Auf dem Bogen sind jeweils zwei Aufgaben zu einem Aufgabenfeld, also hätte ich dann noch die jeweils andere Aufgabe, um das, was ihr mir vorgerechnet habt, an der anderen Aufgabe zu üben.

Also, es sind 5 Aufgabenbereiche:

1. Abgebildet ist eine Parabel, nach unten geöffnet. Sie "beginnt" beim Koordinatenursprung, hat ihren Scheitelpunkt bei x=1 und y=2, und "endet" bei 2/0. Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie zunächst die Gleichung der quadratischen Parabel und anschließend den Inhalt A der markierten Fläche.

2. Aufgabenstellung: Die Parabel f(x)= -1/2x² + 9/2 sowie die Gerade g(x)= 5/4x sind gegeben. Wie groß ist der Inhalt der markierten Fläche? Hier würde mir das Ergebnis reichen, den Lösungsweg weiß ich, denke ich.

3. Gegeben ist die Parabel f(x)= x² - x - 2 für -2 < x < 3. Skizzieren Sie den Graphen von f und berechnen Sie sodann den Inhalt der Fläche, die im 4.Quadranten vom Graphen von f und den beiden Koordinatenachsen umschlossen wird.

4. Gegeben sind die beiden Funktionen f(x)= -x² + 6x - 5 und g(x)= -1/3x² + 4/3x + 5/3 für -1 < x < 5.

a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Extrema, Graphen skizzieren in einem gemeinsamen Koordinatensystem - das dürfte ich auch noch hinkriegen, denke ich.)

b) Welchen Inhalt besitzt die Fläche, die von den Graphen von f und g im 1.Quadranten umschlossen wird?


5. Abgebildet ist der Graph einer quadratischen Parabel, nach unten geöffnet. Er beginnt wieder beim Koordinatenursprung und endet auf der x-Achse. Es sind keine direkten Koordinaten abgebildet, aber vom Scheitelpunkt aus wurden zwei Linien gezogen. Einmal eine parallel zur y-Achse runter auf die x-Achse, und die andere parallel zur x-Achse auf die y-Achse. Der Punkt auf der y-Achse, der dabei entsteht, wird mit beschrieben, der auf der x-Achse mit u.
Aufgabenstellung: Wie muss die Zahl u > 0 gewählt werden, wenn der Inhalt der markierten Fläche (das ist alles, was zwischen Graph und x-Achse liegt) 36(FE) betragen soll?


Ich weiß, es ist viel, aber wenn sich jemand die Mühe macht und das alles ausrechnet, würde er mir wirklich weiterhelfen. Sonst weiß ich nicht, wer mir sonst helfen kann.

Ein großes Dankeschön für alle Fälle schon mal im Voraus! Smile
Maja
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 16:41:46    Titel:

1. Abgebildet ist eine Parabel, nach unten geöffnet. Sie "beginnt" beim Koordinatenursprung, hat ihren Scheitelpunkt bei x=1 und y=2, und "endet" bei 2/0. Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie zunächst die Gleichung der quadratischen Parabel und anschließend den Inhalt A der markierten Fläche.

Lösung:

Parabelgleichung
f(x) = ax^2 + bx + c

Bekannt:
Nullstellen:
P1(0|0)
P2(2|0)
Scheitelpunkt
S(1|2)

-> 3 Gleichungen
f(0) = 0 = c
f(2) = 0 = 4a + 2b
f(1) = 2 = a + b -> b = 2 - a -> 2b = 4 - 2a
eingesetzt:
0 = 4a + 4 - 2a = 2a + 4
2a = - 4
a = -2
b = 2 - (-2) = 4

Gleichung
f(x) = -2x^2 + 4x

Fläche A unter der Parabel:
Stammfunktion F(x) = -2/3 x^3 + 2x^2
A = integral[0,2] f(x) dx

A = (-2/3 2^3 + 2*2^2) - (-2/3 0^3 + 2*0^2)
A = -16/3 + 8 = -16/3 + 24/3 = 8/3 FE
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2005 - 16:50:38    Titel:

2. Aufgabenstellung: Die Parabel f(x)= -1/2x² + 9/2 sowie die Gerade g(x)= 5/4x sind gegeben. Wie groß ist der Inhalt der markierten Fläche? Hier würde mir das Ergebnis reichen, den Lösungsweg weiß ich, denke ich.

Lösung
f(x)= -1/2x² + 9/2
g(x)= 5/4x

markierte Fläche?????? = eingeschlossene Fläche???

Schnittpunkte
5/4x = -1/2x² + 9/2
0 = x^2 + 5/2x - 9

x1/2 = - 5/4 +- sqrt(25/16 + 9) = -5/4 +- sqrt(169/16) = -5/4 +- 13/4
x1 = 2
x2 = - 9/2 = -4,5

int [-4,5 , 2] f(x) - g(x) dx

h(x) = f(x) - g(x) = -1/2x² - 5/4 x + 9/2
H(x) = -1/6 x^3 - 5/8 x^2 + 9/2 x

A = (31/6) + 17,71 = 22,877FE
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