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Induktionsbeweis
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Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2005 - 18:38:52    Titel: Induktionsbeweis

Hey Leute, hänge gerade voll bei einer aufgabe fest:

für welche n€N gilt n² >= 2^(n) - 1

also ab n=4 gehts habe ich und wollte es für alle n>=4 per induktionsbeweis beweisen, dann hab ich im induktionsschritt:

(n+1)^2 >= 2^(n+1) -1
n²+2n+1 >= 2^(n) *2 -1
n² >= 2^(n) *2 -2 -2n
n² >= 2 (2^(n) - 1) -2n
und laut induktionsvoraussetzung weiß ich, dass n² > 2^(n) - 1, aber das hilft mir auch nciht gerade weiter.. hat einer von euch eine idee?? besten dank
gruß ari
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 10:55:17    Titel:

eigentlich brauch ich nur den beweis, dass dies : "n² >= 2 (2^(n) - 1) -2n" eine wahre aussage ist!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 13:45:45    Titel:

Such mal ein wenig. Im letzten Monat sind schon ca. 3 ähnliche hier durchgekommen.
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 18:54:05    Titel:

das verfahren usw ist mir ja klar nur wie kann ich hier beweisen, dass
2 (2^(n) - 1) -2n immer noch so groß ist, dass es größer als n² ist obwohl ich 2n von 2(2^(n)-1) was ja nach induktionsvoraussetzung auf jeden fall größer ist als n² ??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:13:03    Titel:

Gegeben: n^2 <= 2^n - 1

Z.Z: (n+1)^2 <= 2^(n+1) -1

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 <= Vor.
2^n - 1 + 2n + 1 =
2^n + 2 n <= (Annahme n >= 4)
2^n + 2^n - 1 =
2^(n+1) - 1.

Und ich habe genau diese Zeilen schon vor zwei Wochen geschrieben. Ich wünsche Dir, da Du faul bist, dass Du es abschreibst und dass da ein Fehler drin ist Smile
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:28:48    Titel:

warum darf man hier :

n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 <= Vor.
2^n - 1 + 2n + 1 =

einfach das n² gegen die 2^n-1 erstezen?? die voraussetzung sagt ja "nur", dass 2^n >= n² ist aber nicht das das gleich ist oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:40:02    Titel:

Hä? Wo ist denn da ein "="? Es heißt

Nach Voraussetzung gilt

n^2 + 2n + 1 <= 2^n - 1 + 2n + 1

Wo ist da ein "=" bitte schön? Kommt als nächstes die Frage: "Warum ist 2n <= 2^n - 1?"?
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 20:21:08    Titel:

hast du hier das n² nicht durch 2^n - 1 ersetzt?? wenn ja, warum darf man das?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 20:25:27    Titel:

Der Vorgang ist eigentlich keine Ersetzung. Man kann sagen Abschätzung, aber eigentlich ist hier ein sehr wohl legitimierter Beweis vorhanden. Nach Vor. gilt

n^2 <= 2^n - 1

Daraus folgt durch addieren auf beiden Seiten 2n + 1

n^2 + 2n + 1 <= 2^n - 1 + 2n + 1

Und fertigt ist die Sache. Mir ist es irgendwie ein wenig unwohl dabei, wenn wir schon auf dem Niveau angekommen sind Sad
Ari
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 99

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 20:30:06    Titel:

lol aso danke danke
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