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Vollständige Induktion
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miki2ma
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 14:34:30    Titel: Vollständige Induktion

Hallo,

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen




Sei n Element aus N\{0}. Finden Sie für Summe k=1 bis n; 1/(k*(k+1)) einen "geschlossenen" Ausdruck.

a) Beweisen Sie ihre Vermutung mittels der vollständigen Induktion.
b) Gilt die Behauptung auch für n Element aus N?

Danke
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 15:17:14    Titel:

Die aufgabe wurde vorgestern schon gesellt

tipp

partialbruchzerlegung und teleskopesumme (goole ein wenig)
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 15:56:09    Titel:

ICh werds mal versuchen gute Übung. Also erst mal brauchst du eine Idee für ne Induktionsannahme. Basteln wir die Summe was um:

Sum(1;n) 1/(k*(k+1))
= Sum(1;n) (k-k+1)/(k(k+1))
= Sum(1;n) (1/k)-(1/(k+1))
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - ... +1/n - 1/(n+1)
(also ne schöne Teleskopsumme) = 1 - (1/(n+1))

nur das erste und letzte Gleid bleiben. Damit hast du deine Induktionsannahme. Für n=1 gilt der, da deine Summe 1/2 ergibt, genau wie meine Formel.

Angenommen die Behauptung gilt für alle n. Dann gilt für n+1:


Sum(1;n+1) 1/(k*(k+1))
= Sum(1;n) 1/(k*(k+1)) + 1/((n+1)*n+2))
(der rote Ausdruck stimmt mit deiner Induktionshypothese überein)
= 1 - (1/(n+1)) + 1/((n+1)*n+2)) (auf Hauptnenner bringen und vereinfachen ergibt:
== 1 - (1/(n+2)) damit ist teil 1 fertig.

Teil 2 geht nicht, da für k=0 im nenner ne null steht und der Ausdruck nicht definiert ist.
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