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Vektorraum und Untervektorraum
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Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:09:27    Titel: Vektorraum und Untervektorraum

Hey!
Ich hab eine "Verständnisfrage". Hab folgende Aufgabe:
Prüfen Sie, ob folgende Mengen Untervektorr¨aume sind,indem Sie entweder
die Axiome (U-VR) nachweisen oder ein Gegenbeispiel angeben:
{(und jetzt untereinander(also halt als vektor: (a, -a, 0),mit a E |R} C |R^3

Mir ist klar, dass ich jetzt beweisen muss:
UV1: U ungleich {}
UV2: u,v, E U => u+v E U
UV3: uE U, a E K => a*u E U

So, und jetzt hab ich ein Problem: wenn ich z.b. UV2 beweise, sieht das bei mri folgendermaßen aus:

vektor ( a, -a, 0) + vektor (b, -b, 0) = vektor (a+b, -a-b, 0) mit a, b E |R.

aber: was schreib ich jetzt dahin, was das ganze ist.. also der vektor. ich kann ja nciht hinschreiben vektor (a+b, -a-b, 0) E |R, weil es ja nicht so ist. also muss ich da jetzt hinschreiben E |R ^3 ?! Aber wie hab ich dann gezeigt, dass das für diese Teilmenge gilt.
Ich hoffe ihr versteht, was ich nciht verstehe ( Wink ) , ansonsten versuceh ich, das nochmal anders zu formulieren!
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:13:53    Titel:

Hallo,

gibt mal eine von den Mengen, fuer die du die Eigenschaft beweisen sollst an. Dann kann ich Dir an einem Beispiel zeigen, wie das geht.

So verstehe ich Dein Problem nicht!
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:16:09    Titel:

Ähm, das war schon ein beispielt Wink
ich soll für {(a, -a, 0), mit a E |R}zeigen, dass das ein untervektorraum von |R^3 ist!
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:20:39    Titel:

hm, gut, also ich versuch, das problem noch mal darzustellen: Ich soll z.b. zeigen, dass die abgeschlossenheit bezl. der addition gilt. dann krieg ich was daraus (wie in meinem ersten beitrag) . das was ich raus krieg isn vektor. aber wenn die abgeschlossenheti wirklich gilt, muss ich ja was rauskriegen, was in |R liegt, aber ein 3-zeiliger -Vektor kann doch nur in |R^3 liegen
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:21:31    Titel:

Ach so. Das ist einfach:


Nennen wir deinen Unterraum U, der gegeben ist durch die Menge

U={(a,b,c) in R^3|b=-a,c=0}

UV1: trivial! (a=0,b=0, c=0)

UV2: X=(x,-x,0) und Y=(y,-y,0) sind beliebige Elemente aus U.
Dann ist X+Y=(x+y,-x-y,0)=(x+y,-(x+y),0) in U.

Und UV3 geht analog!
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:22:14    Titel:

oh, moment... ich denk da gerad noch ma drüber nach... Smile
Gib mir ne kurze denkpause ich schreib sofort wieder Wink
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:23:48    Titel:

Also UV3:

X=(x,-x,0) beliebiges Element aus U.

Dann ist mit f in R:

f*X=(f*x,f*(-x),0)=(f*x,-(f*x),0) was natuerlich in U ist.

Fertig!
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:24:36    Titel:

ok, das hab ich verstanden..
aber hab ich denn dann jetzt gezeigt dass U ein Untervektorraum von |R ist? das is ja meine aufgabe, aber ich versteh jetz nicht, woraus das hervorgeht?!
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:25:14    Titel:

Du hast einen Denkfehler gemacht. Du musst zweigen, dass fuer beliebige Elemente in U die Summe und der Faktor mit einer reelen Zahl wieder in U (!!!!) liegen.
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 19:28:09    Titel:

Die DEFINITION eines Unterraumes U von einem Vektorraum V ist gerade, dass

1.) 0 in U
2.) fuer alle X,Y in U gilt: X+Y in U
3.) Fuer alle X in U und alle a in C (oder R) gilt: a*X in U
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