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benne77
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 21:56:39    Titel: gruppen, dringend

hey alle zusammen!
Ich habe ein paar probleme folgende aufgaben zu lösen!Und zwar weiß ich nicht wie man die folgenden Aussagen beweißt!
Also:
Sei G eine Gruppe. Beweisen sie für x,y el. G:

a) Es gilt (xy)^-1=y^-1 *x^-1

b) Genau dann ist (xy)^-1=x^-1*y^-1, wenn xy=yx gilt.

c)Wenn x²=e für alle x el. G gilt, ist G kommutativ.

Also ich weiß was für eine Gruppe gilt: und zwar spricht man von einer gruppe, wenn die Verknüpfung assoziativ ist, weiter besitzt die Gruppe ein neutrales element und es existiert ein Inverses!

Ich hoffe mir kann jemand dazu wenigstens einen Lösungsansatz geben! Das wäre echt super! Weiß nämlich im Moment überhaupt nicht wie ich anfangen soll!
Danke schon einmal im Vorraus!
Benne
benne77
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 22:50:11    Titel:

Also ich habe mir bis jetzt zu aufgabe a etwas überlegt, vielleicht findet sich ja jemand, der das nachvollziehen kann und mir sagt ob das richtig ist!
Also:
Da es ja zu jedem x ein Inverses gibt, welches mit x^-1 bezeichnet ist, gilt ja:
(xy)^-1=x*y da ja x=x^-1 und y=y^-1 ist
folgt dann:
x*y= x^-1*y^-1
also
(xy)^-1=x^-1*y^-1

kann man das so machen???
Bitte um Rat
goldencore
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 23:31:56    Titel:

Wieso soll denn x=x^-1 und y=y^-1 sein?
benne77
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2005 - 23:34:41    Titel:

Da es ja zu jedem x ein Inverses gibt, welches mit x^-1 bezeichnet ist!
So ist doch das inverse definiert
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 11:29:46    Titel:

zu a)

das inverse von x ist x^-1
das inverse von y ist y^-1

also gilt (1 das neutrale element):
1=x*x^-1 = x*1*x^-1=x*y*y^-1*x^-1=(x*y)*(y^-1*x^-1).

es folgt, dass (y^-1*x^-1) das inverse von (x*y) ist, also gleich (x*y)^-1.
goldencore
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 12:55:35    Titel:

benne77 hat folgendes geschrieben:
Da es ja zu jedem x ein Inverses gibt, welches mit x^-1 bezeichnet ist!
So ist doch das inverse definiert


Schon, aber x=x^-1 würde ja bedeuten, dass jedes Element der Gruppe sein eigenes Inverses ist. Das mag es ja geben, aber in der hier betrachteten Gruppe finde ich das erstmal nicht selbstverständlich.

Die Def. des Inversen ist ja Zu jedem x in G gibt es ein x^-1 in G, so dass x*x^-1=x^-1*x=e (neutrales Element ist).
starzfighter
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Anmeldungsdatum: 29.07.2005
Beiträge: 78

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 13:40:29    Titel:

yushoor hat folgendes geschrieben:
zu a)

das inverse von x ist x^-1
das inverse von y ist y^-1

also gilt (1 das neutrale element):
1=x*x^-1 = x*1*x^-1=x*y*y^-1*x^-1=(x*y)*(y^-1*x^-1).

es folgt, dass (y^-1*x^-1) das inverse von (x*y) ist, also gleich (x*y)^-1.


Jop yushoor seins ist voll korrekt. besser kann mans glaube ich nicht machen. Dein Versuch benne klappt so nicht.
1=x*x^-1
<=>
1=x*1*x^-1
<=>
1=x*y*y^-1*x^-1
<=>
1=(x*y)*(y^-1*x^-1)
<=>
1/(x*y)= (y^-1*x^-1)
<=>
(x*y)^-1=(y^-1*x^-1)

so hätte ichs halt geschrieben aber is ja im Prinzip genau das gleiche wie yushoor seins.
benne77
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 01:10:53    Titel:

Hey!
Danke ihr habt mir auf jeden Fall super doll weiter geholfen, könnt ihr mir denn jetzt auch bei aufgabe b und c Ansatzmöglichkeiten nennen?!

also Aufgabe b beruht ja auf dem kommutativgesetz! Kann man da dann irgendwie mit anfangen??
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 10:20:34    Titel:

b) da steht etwas von "genau dann wenn". das bedeutet, du musst eine äquivalenz zeigen. das wiederrum bedeutet, du musst die aussage in "beide richtungen" zeigen.

die eine richtung ist echt trivial. nämlich wenn gilt xy=yx, dann gilt logischerweise auch x^-1*y^-1 und dann unter benutzung von a) bist du fertig Smile

die andere richtung probierst mal selbst.
benne77
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 00:22:17    Titel:

Ja super danke!
Also die andere Richtung fange ich dann mit y*x = y^-1*x^-1 und dann so wie Aufgabe a oder was? Geht das so oder muss ich noch anders anfangen!!???
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