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Matrizengleichung
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Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 11:05:07    Titel: Matrizengleichung

Hallo habe ne eigentlich simple Aufgabe aber stehe mir auf dem Schlauch.
Will die Matrizengleichung; AX-XA=B lösen.
Matrix A ist [1,2 ; 1,-1] und Matrix B ist [1,2 ; -2,-1].
Habe da ausprobiert und komme nicht auf die Lösung für X.
A^-1 = 1/3[1,2 ; 1,-1] könnte ich noch anbieten!

Wenn mir da eine(r) einen Lösungsansatz, einen Weg oder eine Definition zur Berechnung geben könnte wäre das echt spitze!

Danke im Vorraus!!!
starzfighter
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Anmeldungsdatum: 29.07.2005
Beiträge: 78

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 11:43:47    Titel:

|a1 a2|=A
|a3 a4|

|b1 b2|=B
|b3 b4|

AX-XA=B

Einfach Matrizen multiplizieren:
|a1 a2| |x1 x2| |x1 x2| |a1 a2| |b1 b2|
|a3 a4| |x3 x4| - |x3 x4| |a3 a4|= |b3 b4|
=>
|a1*x1+a2*x3 a1*x2+a2*x4| |x1*a1+x2*a3 x1*a2+x2*a4| |b1 b2|
|a3*x1+a4*x3 a3*x2+a4*x4|- |x3*a1+x4*a3 x3*a2+x4*a4|= |b3 b4|

nun muss man wissen:
|y1 y2| |y1 y2| |-y1 -y2|
-|y3 y4|= +(-1)*|y3 y4| = |-y3 -y4|
=>
|a1*x1+a2*x3 a1*x2+a2*x4| |-x1*a1-x2*a3 -x1*a2-x2*a4| |b1 b2|
|a3*x1+a4*x3 a3*x2+a4*x4|+ |-x3*a1-x4*a3 -x3*a2-x4*a4|= |b3 b4|

Nun die matrizen addieren:
|a1*x1+a2*x3-x1*a1-x2*a3 a1*x2+a2*x4-x1*a2-x2*a4| |b1 b2|
|a3*x1+a4*x3-x3*a1-x4*a3 a3*x2+a4*x4-x3*a2-x4*a4| = |b3 b4|

Jetzt hat man 4 Gleichungen und 4 unbekannte da die a1-a4 und b1-b4 ja alles zahlen bei dir waren sind nur x1,x2,x3,x4 unbekannt
I) a1*x1+a2*x3-x1*a1-x2*a3=b1
II) a1*x2+a2*x4-x1*a2-x2*a4=b2
III) a3*x1+a4*x3-x3*a1-x4*a3=b3
IV) a3*x2+a4*x4-x3*a2-x4*a4=b4

Und nun rechnet man mit dem linearen Gleichungssystem weiter. d.h.
zusammenfassen und dann versuchen die Variablen in den Gleichungen zu eliminieren.
Matrix A ist [1,2 ; 1,-1] weiss ich leider nicht ob das die Matrix:
|1 2|=A
|1 -1|
oder aber
|1 1|=A ist.
|2 -1|
Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 11:50:05    Titel:

Das hört sich gut an.
In der Uni hatten wir so ne ähnliche aufgabe gelöst, aber mithilfe der inversen Matrix A^-1.
(Bsp: AX=B -> X=B*A^-1)
Geht das hierbei auch, wenn ja wie?

Ach so; Matrix [1,2 ; 1,-1] bedeutet;
|1 2|
|1 -1| ist die Tipweise vom Taschenrechner
starzfighter
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Anmeldungsdatum: 29.07.2005
Beiträge: 78

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 12:02:18    Titel:

Kann ich nur ohne Garantie was dazu sagen da ichs einfach net mehr weiss.
Die Matrixmultiplikation ist soweit ich mich erinnere nicht kommutativ.
d.h. AX muss nicht das Gleiche sein wie XA.
Deswegen würde ich sagen kannst du
AX=B -> X=B*A^-1 bei der Gleichung machen
aber bei:
AX-XA=B fände ich das nicht korrekt weil ich nicht weiss wie du das inverse auf die andere Seite bringen kannst da man das Distributivgesetz nicht einfach anwenden kann.
Ich glaube das Distributivgesetz war zweigeteilt:
(i)
A(B + C) = AB + AC (linkes Distributivgesetz)
(ii)
(B + C) A = BA + CA (rechtes Distributivgesetz)

und somit darf man im allgemeinen
AX-XA=A(X-X) oder X(A-A) nicht.

Aber das kann dir vielleicht jemand hier genauer beantworten der gerade bei Matrizenrechnung ist und die Gesetze noch auswendig weiss.
Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 12:13:03    Titel:

hmm auf jeden Fall schonmal recht herzlichen Dank für die Aufmerksamkeit.
Das mit der Multiplikation ist richtig; AX ist ungleich XA.
Mir fehlt da noch der richtige Ansatz. Man kann ja über die inverse Matrix von A die Sache vereinfachen;
(als Bsp.:aus AX=B kann man ja mit der inversen Matrix von A multiplizieren A^-1*AX=A^-1*B, so dass dann EX=X=A^-1 B steht.)
so wollte ich mittels Einheitsamtrix A quasi rausschmeissen, so dass mein Ausdruck aus X, B, und A^-1 besteht woraus ich ja dann X berechne.
Aber wie? Geht's überhaupt???
Wäre über Antwort schweineglücklich!!!
starzfighter
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Anmeldungsdatum: 29.07.2005
Beiträge: 78

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 13:14:09    Titel:

A^-1*AX=A^-1*B

müsste funktionieren bloss hast du bei dir ja nen Spezialfall:
AX-XA=B

Matrix
|a b|=A
|c d|


Ok also das inverse zu A ist:
|1/3 2/3|=A^-1=D
|1/3 -1/3|

B*A*X=E*X=X

|x1 x2|=X
|x3 x4|

D*X*A
|1/3*x1+2/3*x3 1/3*x2+2/3*x4|*|1 2|
|1/3*x1-1/3*x3 1/3*x2-1/3*x4 |*|1 -1|

Sieht nicht so aus als würde hier X rauskommen.
=> Vermutung: In dem Fall den du hast gehts nicht. Bzw es geht schon aber es kommt nicht das raus was du dir erhofft hast in der Form
X=A^-1*B

[Aber im Prinzip würde das eh nichts bringen. Wenn du dir
AX-XA=B anschaust und du würdest es schaffen das
EX-XE=B dastehen hättest dann wäre das:
X-X=B
0=B
]
Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 13:42:31    Titel:

mmm......dumme Sache.
Dann werd ich mir was überlegen. Vielleicht geht's auch gar nicht so wie ich das versuch.
Aber auf jeden Fall erst mal herzlichen Dank und Applaus für die prompte Hilfe!!!!
starzfighter
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Anmeldungsdatum: 29.07.2005
Beiträge: 78

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 14:26:12    Titel:

??? Ich habe dir doch die Lösung im allgemeinen hingeschrieben. Ich schreibs dir mal für deine Aufgabe genau hin:
|1 2|*|x1 x2|-|x1 x2|*|1 2|=| 1 2|
|1 -1|*|x3 x4|-|x3 x4|*|1 -1|=|-2 -1|
nun einfache Matrixmultiplikation:
|x1+2*x3 x2+2*x4|-|x1+x2 2*x1-x2|=|1 2|
|x1+x3 x2-x4 |-|x3+x4 2*x3-x4|=|-2 -1|

nun das ganze als Gleichunssystemzusammenfassen:
I) x1+2*x3-x1-x2=1
II) x2+2*x4-2*x1+x2=2
III) x1+x3-x3-x4=-2
IV) x2-x4-2*x3-x4=-1
kürzen und nach den x ordnen
I) -x2+2*x3 =1
II) -x1+x2+x4 =1
III) x1-x4 =-2
IV) x2-2x*3-2*x4=-1
nun sieht man wie wunderschön I und IV zusammenpassen daher I+IV:
I) -x2+2*x3 =1
II) -x1+x2+x4 =1
III) x1-x4 =-2
IV) -2*x4=0 => x4=0
einsetzten von x4 in III)
=>x1=-2
x1 und x4 einsetzen in II)
=>x2=-1
x2 einsetzen in I)
=>x3=0
also ist dein X
|-2 -1|=X
|0 0|
Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 11:47:15    Titel:

Danke. Dankeschön.
Das sieht echt gut aus und Lösung passt!!!!
In diesem Sinne schönes WE Cool
Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 11:16:25    Titel:

Ich nochmal....
Habe da irgendwo ein Problem bei der Lösung von dir.
mit deinem X ist auf jeden die Gleichung erfüllt, also wirds stimmen!
ABER, wenn ich das nachrechne habe ich bei zwei Punkten Probleme etwas nachzuvollziehen. Der Weg ist klar nachzuvollziehen und auch 100% logisch,
aber du sagst hier bei der Multiplikation käme mit (ich habs mal fett markiert) -1 und x3 -> +x3 raus!? ist das nicht normal -x3?

|1 2|*|x1 x2|-|x1 x2|*|1 2|=| 1 2|
|1 -1|*|x3 x4|-|x3 x4|*|1 -1|=|-2 -1|
nun einfache Matrixmultiplikation:
|x1+2*x3 x2+2*x4|-|x1+x2 2*x1-x2|=|1 2|
|x1+x3 x2-x4 |-|x3+x4 2*x3-x4|=|-2 -1|

und in Matrix 2 steht ja (fett) -x4. Bei dem Aufstellen der Gleichung sagst du dann
IV) x2-x4-2*x3-x4=-1
muss das nicht +x4 sein? Weil ja ein - vor der Matrix steht.?

Das sind zwei Dinge bei denen ich Probleme habe.
Denn wenn ich ganz normal multipliziere und über ein LGS gehe dann kommt da irgendwie bei mir Mist raus! Bei dem was du hast geht's ja genau auf. Könntest du mir das mal kurz erläutern? Kann ja sein das ich irgendwas nicht auf die Kette kriege!
Nach dem Multiplizieren sieht mein LGS so aus;

I) x1+2x3-x1-x2=1 -> -x2+2x3=1
II) x2+2x4-2x1+x2=2 -> -x1+x2+x4=1
III) x1-x3-x3-x4=-2 -> x1-2x3-x4=-2
IV) x2-x4-2x3+x4=-1 -> x2-2x3=-1

Kann mir einer sagen ob da ein Fehler ist???
Wäre nett.
Danke Wink
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